高中數學的復數公式大全11篇

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高中數學的構造法是運用數學的基本思想，經過認真的觀察、深入的思考，構造出數學的常規模型來解決特殊的數學問題的方法。高中數學的構造法形式多樣，內容十分豐富，它把數學中抽象性問題實質化，把普遍性與現實性的問題特殊化，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，即借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。對一些特殊的題目，在解題過程中，用常規思維方法去探求難以切入時，教師要及時啟發學生，展開豐富的聯想，拓展思維變化領域，嘗試運用構造法來解題，從而培養學生的創造意識和創新思維能力。

1.用構造函數法解題培養學生的函數意識

高中函數是高中數學的重要組成部分，函數思想是整個高中數學思想的主線，學生對函數知識比較重視，所以對函數知識成竹在胸。就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程，以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的。例如在“數列”這一章中，許多地方用到構造函數法，如等差數列的通項公式可構造成一次函數的形式，求和公式可構造成不含常數的二次函數的形式。如一個等差數列的前10項和為100，前100項的和為10，求這個數列的前110項的和，可以用二次函數來解決。等比數列的通項公式及求和公式都可以用指數型函數來處理。又如一些特殊的不等式題都可以構造成特殊的函數來解決。所以，像數列、不等式等一些題目似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造出一次函數、二次函數或者指數型函數，利用函數的性質能夠得到簡捷的證明。因此在解題過程中要不斷挖掘學生的潛在意識，使學生的思維不致停滯與解題思路擱淺，在教學過程中真正地啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維能力的目的。

2.用構造方程法解題培養學生的觀察能力

方程方法是學生解題中最常用的方法，運用方程方法解題有助于培養學生的直觀思維能力。在解決函數問題時常常用構造方程法來解題。因為和函數有必然聯系的是方程，方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通過方程進行研究，要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，通過方程（組）來求得這些量。這就是方程的思想。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。遇到較為復雜的數學題時，要指導學生把難的先簡單化，構造出我們很熟悉的方程。通過數學命題的結構，直觀地觀察出題目中的內在的方程的含義，從而運用方程的思維方法來解題。教師要引導學生在解題的過程中要善于觀察、善于發現，在解題過程中不墨守成規，大膽去探求解題的最佳途徑，要大膽地發揮學生的創新思維，因為創新思維是整個創新活動的關鍵，它的基本特征是獨特的知識結構及活躍的靈感。

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引言

高中數學是高考重點科目。高中學生學習數學的時候，往往存在當堂掌握數學教師講解的數學知識，但是做題的時候無法有效應用的問題。面對學生對數學知識掌握不夠充分的現象，高中數學教師為了幫助學生鞏固數學知識，就會開展復習課教學，使教學內容具有針對性。但是要發揮高中數學復習課教學的時效性，就要采取有效策略以提高學生數學學習質量。

一、高中數學復習課教學中要向學生明確數學復習方向

高中階段學生面臨高考的壓力，特別數學復習，不僅信息量大，而且復習項目繁多。為了提高學生高中數學復習質量，就要在數學復習各個階段明確復習方向，避免學生盲目復習而影響數學學習質量[1]。高中數學教師帶領學生進行數學復習，要圍繞數學教材展開，主要復習高考大綱規定的基礎知識，以歷年高考數學真題作為輔助復習內容，指導學生根據自己對數學知識的掌握水平及做題能力制訂數學復習計劃。比如，教師在單元復習課上可以將主要數學知識連接成為一個脈絡，形成一個知識結構。單元內的重點知識學生觀之一目了然，還能根據脈絡將本單元數學知識進行銜接。基于此，學生就會從自身對本單元數學知識的掌握程度出發制定適合自己的復習計劃。數學教師則是將每一個知識點的代訂性例題總結出來，讓學生從例題角度出發掌握本單元高中數學知識。

二、運用類比思想構建高中數學知識

高中數學各個知識點之間存在邏輯關系。構建數學知識結構有助于學生更好地理解數學知識，需要運用類比思想將數學知識貫穿為知識脈絡，形成條理化數學知識。高中數學復習課教學中，采用這種教學策略對學生數學學習加以引導，有助于學生復習數學知識的時候，提升知識遷移能力[2]。比如，復習等比數列的時候，可以將等比數列和等差數列進行對比式復習。在學生復習等差數列相關知識的時候，教師可以在知識結構中插入等比樹立，讓學生看到等差數列公式的時候，自然會想到等比數列，而且更好地區別兩個公式。采用這種知識異同點對比的方式，可以幫助學生更好地理解數列知識。

數學定理是高中學生需要掌握的重點知識。很多高中學生都會以記憶方式學習數學定理，但是對定理的數學涵義并不理解，導致對樹立定理不懂得靈活運用。對這部分數學知識進行復習課教學的時候，可以采用類比思想，引導學生發現定理的形成過程，讓學生從記憶定理轉向理解定理。比如，復習“復數的四則運算加減法”的時候，教師可以讓學生對合并同類項的相關內容予以回顧，然后針對復數的求和問題和求差問題進行討論，讓學生以回憶方式深化對復數加減法法則的印象，最后數學教師予以正確引導，進行總結：兩個復數相加減，就是實數部分相加減、虛數部分相加減。

三、采用情境教學法將學生參與意識激發起來

高中學生在數學復習課教學中，要積極主動地配合數學教師，才能提高數學學習效率。高考雖然以做題形式考查學生對數學知識的掌握能力，但是，學生除了要掌握數學解題技巧之外，更要對數學概念加以充分了解。數學教師在復習課教學中要注重引入數學概念，以使學生在解題中做到觸類旁通。比如，講解三角函數的時候，數學教師要了解學生對函數概念的理解，采用讓學生解答選擇題的方式。

假如函數f（x）=x（x≥0），描述正確的是下列哪種？（ ）

A.x值增大，y值隨之增大，為增函數；x值增大，y值減小，為減函數；

B.x值增大，y值減小，函數為增函數；

C.x值增大，y值增大，函數為增函數；

D.x

為了讓學生對本題考查目的有所明確，數學教師可以運用多媒體課件輔助復習課教學，即將f（x）=x（x≥0）處理為圖像用幻燈播放出來。動態的畫面使公式表達的涵義更為直觀。教師對每一個選項內容都操作一遍，以便學生從直觀角度做出判斷。這種利用高中學生的形象思維方式解決邏輯問題的方法，對學生數學解題思路具有很好的引導作用。隨著高中學生解題欲望被激發起來，會對相關問題進行深入思考，形成積極學習的主動意識，有助于高中學生更好地投入到數學復習中。

結語

高中數學教學中，復習課教學是幫助學生鞏固數學知識的重要方式。高中數學教師要提高復習課教學質量以發揮其時效性，就要對提高學生數學學習質量的復習策略加以深入研究，使學生樹立主動學習意識，由此提高數學學習質量和效率。

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1 引言

數學作為一門基礎學科，在人類教育史起著非常重要的作用。隨著新課程改革的不斷深人，在《高中數學課程標準》中，數學史在教學中被提到了重要的位置。在高中數學課本中，有很多地方直接介紹數學史，在習題、課文注釋和附錄中提到數學家、數學名著、數學方法等。《新課標》中對數學史提出了具體的要求，指出：“通過生動、豐富的事例，了解數學發展過程中若干重要事件與重要成果，初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學生學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神。” 高中數學不僅要有簡單的“問題解決”的現實主義的傳統，也要有古希臘那種“演繹推理”的理性主義精神。高中數學老師不僅要將新時期的思想反映到教學中去，也要將數學史貫穿到教育教學中去，既要講推理，也要講道理。在教學中，通過典型的例題，理解數學的概念和方法，適當的融入一些數學史的知識，將抽象難懂的公式、概念適當的轉化成學生易于接受的思想，從而豐富學生對數學發展的整體認識，激發學生學習數學的濃厚興趣。

2 數學史與高中數學

2.1數學史

數學史是一門獨立的學科，是研究數學科學發生及其發展規律的科學，也是研究數學的歷史。通過研究數學學科的產生、發展的歷史，來追溯數學內容、方法以及思想的演變和發展過程，并且探索影響這些過程的各種因素，來反應歷史上數學科學的發展對現代人類文明所帶來的影響。數學史是數學的一個分支，也是學科史的一個分支。為了達到高中數學的教學目標，在高中數學教學中，對數學史提出明確的要求：“使學生了解數學史，懂得數學來源于實踐又反作用于實踐，明白數學知識是相互聯系并隨著時間不斷變化發展的”。

2.2高中數學

高中數學是全國高中生學習的一門學科。高中數學相比初中數學來說，有以下新的特點：①數學語言在抽象程度上突變。高中數學中有很多非常抽象的集合語言、邏輯運算語言、函數語言等。②思維方法向理性層次躍遷，數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。③知識內容的整體數量劇增，在高中數學中知識量變得更大、更難。包括了《集合與函數》《數列》《復數》《排列、組合、二項式定理》《立體幾何》等部分內容。④知識的獨立性更大。每個章節都有其獨立的數學思想。

3 數學史在高中數學教育中的作用

3.1運用數學史，激發學生的學習興趣

良好的開端是成功的一半，因為好的開頭能使學生的注意力集中，激勵學生的求知欲，良好的開端關鍵在于課題的引入方式。 高中數學相比初中數學來說，更難更抽象。通過運用數學史，可以激發學生的學習興趣，使枯燥的知識變得生動形象，易于理解。比如，在剛開始上課時可以引用與教學內容配合的數學家的故事進行情境導入，會讓學生的大腦處于興奮的狀態，使學生一開始就對這堂課產生濃厚的興趣，讓學生集中注意力來聽好這節數學課，在不知不覺中學到有用的知識。比如在學習數列時，老師可以引入古代印度國王褒賞國際象棋發明者的故事來吸引學生，并引入數列課題，來激發學生學習數列的熱情與興趣。

3.2引用數學史，有助于幫助學生培養正確的數學思維方式

高中的數學教材是通過反復推敲后編排的課本，其語言十分簡潔精煉。在高中數學教材中，將教學內容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，對數學知識的推理過程及演變歷史的研究很少。這樣學生很容易死記硬背這些定理、概念，而本身并沒有理解其中的內涵，所以在做題時很容易出現錯誤。通過數學史的引入，我們可以將抽象的概念、定理形象化、系統化，對這些概念的產生過程有一個比較清晰地的認識，有助于幫組學生培養正確的數學思維方式。例如，微積分不是在傳統的歐式幾何的演繹體系下產生的，它是萊布尼茲和牛頓在“求拋物線弓形面積”“窮竭法”這兩種思想的啟發下才產生的。真正學習數學應該是知道這個概念定理產生的過程，使學生體驗一種真正的、鮮活的的數學思維過程，而不是僅僅死記住這些概念定理。只有不斷地引入數學史，才能使學生在學習數學時有一種不斷探索的正確的數學思維方式。

3.3引入數學史，可以拓寬學生的知識面，激發學生的學習動機

高中數學老師在教學時，可以引入數學史中的名人，來拓展學生的知識面，樹立學習的榜樣，來激發學生的學習動機。比如，高中老師在傳授數學知識時，可以引入這些例子：伽羅瓦在18歲的時候創建群論；阿貝爾在22歲證明了一般五次以上代數方程不存在求根公式等等，這些數學史中的例子都可以激發學生學習數學動機 ，增加學生的求知欲。將數學史滲透到高中數學教學中，不僅能擴大學科知識面，還能夠激發學生的求知欲望，充分調動學生學習的積極性。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2][美]伊夫斯H.數學史概論[M].歐陽絳譯.太原：山西人民出版社.

[3]李儼，杜石然.中國古代數學簡史[M].北京：中華書局.

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要想展開初高中數學課堂的教學對接，這需要教師充分發揮學生的教學主體性，課堂上要給學生提供更多觀察與實踐的平臺.教師要善于找到有效的知識教學的切入點，要在新知教學前找到相關的知識鋪墊，并且透過教學引導，讓學生在觀察、推理、驗證、實踐的過程中展開對于新知的有效挖掘.這能夠培養學生的自主學習能力，也能夠讓學生對于學習內容有深刻體會.在教學中，教師應創造條件，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流.

例如，在講“概率”時，教師可以讓學生拋硬幣、轉轉盤、摸球；在講“相似三角形”時，教師可以讓學生去測量學校建筑物、旗桿的高度；在講“統計量”時，教師可以讓學生設計調查項目，做統計報告；在講“圓的有關定理”時，教師可以讓學生查找圓中還有哪些重要定理，組織學生交流探究.通過這樣的過程，讓學生感知數學學習內容是緊密聯系的，很多學過的知識都能為新問題的探究提供基礎.這樣才能充分體現新舊知識間的關聯，并且實現初高中數學課堂對接.

二、技巧性地展開教學知識擴展

僅僅只是利用初中學過的知識顯然是不夠的，教師要能夠技巧性地進行教學知識的擴展，要透過有效的教學引導來引入新的教學內容，并且促進學生對于新知的理解與掌握.在初高中數學對接的教學中，知識間的聯系有很多體現，很多高中數學中內容都是在初中數學的基礎上進行的拓展與延伸.這是一個很好的教學基礎，也給學生的知識接受提供了一個平臺.在引導學生復習與鞏固初中相關內容的同時，教師也要技巧性地進行知識的擴展延伸，要讓學生有效地過渡到新知的學習中，并且讓學生對于新的教學內容有更好的理解與掌握.

例如，在講“無理數”時，教師可以提出問題：大家想想，今后還會出現新的數嗎？由虛數擴充到復數，還有其他的可能嗎？這不僅是一個很好的知識回顧，也能有效地實現教學知識的擴展延伸.實數表示在數軸上的點，是一維數，復數表示平面的點，二維數，還有三維數、四維數……n維數.教師可以適當補充一些介紹，引起學生進一步學習的良好傾向和情感.這個過程也是對初高中知識的適時有效對接.

三、探究性地展開教學素材引申

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關鍵字：高中數學；經濟；重要性；應用分析

 

一、高中數學的重要性

1.提高邏輯思維能力

數學科目與英語、地理等基礎性科目相比，不僅要求我們熟練記憶數學公式（例如等差公式、等比公式等），而且重點考察我們的邏輯分析能力和抽象思維能力（例如立體幾何、平面解析幾何等）。通過高中數學的學習，能夠逐漸培養起嚴謹的分析和推理思維，一切問題用計算結果來解釋，這對于我們理性的看待問題也有積極幫助。

2.快速的計算能力

計算是數學學習的一門基礎性技能。在數學學習的過程中，計算能力不僅僅是指簡單的數字運算，還包括公式的推理、公式的變形等內容。由于數學中所要計算的內容增加、難度增大，因此對我們的快速計算能力提出了更加嚴格的要求。目前，高考仍然是選拔人才的一種重要方式，而數學則是高考中最容易拉開分數差距的學科。我們掌握了快速計算的能力，才能在有限的考試時間內更快、更準確的答題，從而提高數學考試成績。總的來說，熟練掌握教材中的公式，對于提升個人計算能力有很大幫助。

3.豐富的想象力

通過高中數學學習，還能夠豐富我們的想象力。例如，我們在學習高中數學必修2中有關于三視圖這部分內容時，需要我們充分發揮想象力，在腦海中構建物體的立體模型，然后從各個角度觀察這個立體模型，從而正確判斷該立體模型的正視圖、側視圖和俯視圖。借助于數學知識的學習，能夠幫助我們從多個角度思考和看待問題，養成善于想象、敢于想象的思考習慣，從而實現解題思路的創新。

4.堅韌的忍耐力

學習數學是一個循序漸進的過程，前后知識連接緊密。這就要求我們在進行數學學習時，必須按部就班的完成老師布置的任務，從最基本的公式記憶和例題分析做起，一步步的打好基礎，從而實現學習成績的穩步提升。在這一學習過程中，大多數同學的忍耐力都得到了鍛煉，性格也逐漸趨于沉穩。

二、高中數學在經濟中的應用

以某企業為例，該企業在進行投資基金項目時需要將一筆資金投資到甲、乙或丙三個不同的項目中，而由于這三種項目的經濟環境與本質有所差別，其收入也有所不同。假設外部情況只分為良好、一般及較差三種，而企業則需要計算出兩種項目的期望值與方差值來判斷如何進行投資。假設這兩種基金在三種環境中產生的價值如表所示：

 

P良好=0.2

P一般=0.7

P較差=0.1

基金甲（萬元）

30

15

-5

基金乙（萬元）

20

14

-4

基金丙（萬元）

18

15

-3

通過計算，可知：

1.兩個基金的數學期望分別是：

E(甲)=30×0.2+15×0.7+(-5)×0.1=16（萬元）

E(乙)=20×0.2+14×0.7+(-4)×0.1=13.4（萬元）

E(丙)=18×0.2+15×0.7+(-3)×0.1=13.8（萬元）

2.兩個基金的方差分別是：

D(甲)=(30-16)2×0.2+(15-16)2×0.7+(-5-16)2×0.1=84（萬元）

D(乙)=(20-13.4)2×0.2+(14-13.4)2×0.7+(-4-13.4)2×0.1=42.24（萬元）

D(丙)=(18-13.8)2×0.2+(15-13.8)2×0.7+(-3-13.8)2×0.1=32.76（萬元）

通過分析以上離散型隨機變量的期望和方差之后我們可知，基金甲的投資平均收益最大。但基金甲的投資風險也最大，基金乙的風險次之，同時基金乙的收益最小。基金丙的收益比基金甲低，但是其風險比項目甲低，基金乙的收益比甲低，但是其風險比甲低；根據高中數學知識我們可以知道，如果幾個不同投資方案的期望值與方差值不同，則變異系數小者投資風險小。因此，經過比較，我認為作為一個理性的投資人，應該綜合比較投資收益與投資風險的匹配度，所以最佳的理性決策應該選擇投資基金丙。

三、高中數學對經濟運用的弊端

數學這門學科雖然具有較強的實用性，但是對于我們來說，高考仍然是我們現階段最重要的任務。因此，大部分數學老師在講課過程中，更加側重于培養我們的知識理解和解題的能力。而對于同學們來說，也不需要對某個公式的具體推導過程、某一定理的來歷進行過多研究，只要會用即可。在這種教學模式下，許多同學只知道埋頭苦學，根據教師的教學安排進行學習和習題練習，個人的獨立思考能力和思維發散能力都受到了極大的限制。這樣一來，雖然能夠幫助我們提高應試水平，但是不利于個人今后的全面發展。而在經濟活動中，需要根據市場形勢變化、企業生產需要，進行復雜多變的數學計算，由于我們缺乏想象力和創造力，數學在經濟中的運用也會大打折扣。

四、結論

對于我們來說，學好數學知識，不僅能夠在高考中考出好成績，同時也為今后的學習與工作奠定基礎。數學這門學科與我們的日常生活和經濟活動息息相關，我們一方面要加強理論學習，打好基礎；另一方面也要活學活用，利用數學知識解決生活中的問題，發揮數學知識在經濟中的應用優勢，從而為提高生活質量、推動經濟發展提供動力。

 

參考文獻：

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在復習教學中，復習目標作為整個教學的指明燈，它不僅能幫助師生明確學習重點、難點，同時對提高學習效率也有很大作用. 因此，在制定目標時，老師必須結合教材以及教學大綱要求，理解教材難點、重點，同時這也是正確認識教學大綱的過程. 另外，老師還要有目的、有針對性的分析學生已有的認知水平，以便在教學中制定出符合學生實際情況的復習方案與目標. 但是，從教學反饋的信息來看：很多老師并沒有嚴格按照該要求執行，所以滿堂灌的現象始終存在.

二、將基礎知識作為復習難點

在進行高中數學復習時，為了保障教學有效性，老師不僅要掌握不同學生的認知水平和教學要求，還應該適時為學生制定學習目標與要求；通過將數學基礎知識、方法、技能作為高中數學的復習難點、重點，讓學生更好的掌握數學公式、概念與定理. 在復習中，數學概念作為連接內涵、知識外延的關鍵，需要老師的引導性講解，這樣學生才能更好的掌握與理解概念以及各個知識點之間的聯系. 因此，在高中數學復習課教學中，老師必須高度重視復習課中的基礎知識，在由淺入深的過程中，讓學生學以致用，以提高學習水平與效率.

教學作為一門藝術性很強的工作，它不是一成不變的，而課堂教學又比較復雜，特別是高中階段. 所以怎樣分配、設計教學方法，讓課堂時間有效利用成了眾多高中數學老師關注的問題. 在課堂設計時，要從認知水平著手，在循序漸進的過程中，引導學生發現規律，生成動靜結合的教學過程. 如此，學生即能利用例題進行推演，又能把握認知與實踐，在研讀課程的過程中，對相關內容進行剖析.

三、注重復習教學結構，做好反思總結

新時期，為了更好的迎合時展需求，老師必須轉變傳統的教學理念，堅持老師主導、學生主體的教學原則，放棄滿堂灌、注入式等教法，讓他們完全成為學習的主人，在活動中得到突破與創新，以不斷提高數學悟性與素養. 而此時老師的任務則是誘導、啟發、點撥和調控.

另外，“熟能生巧，巧能升華”也說明了練習對教學有效性的作用. 因此，在高中數學教學中，老師不僅要引導學生做好反思總結工作，還必須給學生足夠的練習機會，這樣才能鞏固已有知識. 在設計練習題時，既不能太難，也不能過于簡單，更要保障練習題中蘊含的知識點. 這樣學生在做練習題的過程中，既可以得到成就感，又能調動學習主動性與積極性，為今后的復習課夯實基礎. 在設計復習習題時，基礎題型一般放在章節復習中，而有難度的練習題放在單元練習中，綜合性習題放在全面復習中，這樣就能讓學生擁有一個明確的復習計劃.

四、活用多媒體等教學輔助工具

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所謂“情境—問題”教學模式就是指通過給學生創設一定的情境來引出所要學習的知識板塊，這一教學模式是學科教學模式的重點，不僅運用在高中數學教學中，實際上運用在學生學習的各個階段和各個學科當中。通過給學生創設情境，來向學生提問，以此來引導學生對該問題來進行思考，不僅能夠調動學生的好奇心，還能夠調動學生的積極性。把這種教學模式運用到高中數學教學當中，可以有效改進教學手段，提高教學效果。為了使“情境—問題”教學模式更好地服務于高中數學教學，我們需要思考一個最基本的問題，那就是該種教學模式的設計原則問題。根據自身的高中數學教學經驗，以及汲取廣大數學教育者的智慧，我們認為“情境—問題”教學模式最起碼需要遵循以下原則。

一、“情境—問題”教學模式的設計原則

（一）簡單可行性

“情境—問題”教學模式想要發揮其在高中數學教學中的作用，首先需要遵循簡單可行性的原則，在簡單可行性的基礎上還要具有可操作性，只有簡單可行和易操作兩者結合起來，才能使“情境—問題”教學模式能夠讓學生直觀地明白，不會加重學生學習的負擔。如何教師創設的情境在導入時就顯得難以理解，那么部分學生從一開始就會喪失興趣，這違背了“情境—問題”教學模式的最終目標。

（二）趣味性

這一教學模式的創設是本著激發學生學習興趣而融入到高中數學教學的過程中，如果教師創設的情境具有趣味性，不僅會引起學生的注意，而且會讓那些昏昏欲睡的學生通過笑來激發大腦，以此來活躍大腦。同時教師創設的情境具有趣味性，不僅能夠在教學過程中拉近與學生的距離，讓自身的授課變得更加具有意義。老師與學生之間營造良好的師生關系，這不僅符合教育的要求，也是教育的目標。當教師與學生變得親近時，學生會突破心理防線，更加積極主動地向老師請教問題，從而提高自身的數學成績，也使得老師的人格魅力在教學過程中展現的淋漓盡致[1]。

（三）生活性

高中數學雖然具有一定的難度，但是學好了卻能給生活帶來很多的便利。數學知識的學習，不僅僅是在課本上，學習的最終目標是回歸到為生活服務。而且高中數學課本上許多知識點的導入節和作業的設置都是從現實生活中取材，這樣使得數學的生活性更加強。據此，教師的“情境—問題”教學模式應該貼近生活，讓學生從課本中學習到的知識能夠運用到實際的生活當中，解決生活中出現的問題，從中體會學好數學的重要性。

二、“情境—問題”教學模式在高中數學教學中的實際運用分析

（一）創設發現情境，還原再現思考

讓學生通過對數學課本中問題的理解，創設出問題所在情境，再引導學生把創設的情境與實際生活情境相聯系，進一步發現問題的內在規律，從而使得學生輕松地解決問題。比如在《正弦定理》一節中,有一題大致是:在一座橋A點處有一批物資,因自然災害原因，急需將A處貨物和人員轉運到與河岸平行的B點和C點,已知貨車速度是45kmh,問:船應該開往B處還是C處?如果教師采用投影的方式，讓學生直觀地看見橋和貨車，學生就會利用公式很快地解答出這道題目。

（二）創設障礙情境，引發認知沖突

在高中數學教學中，教師可以采用相反的認知方式來進行，平常的教學導入教師一般是使用與人類認知相向的即平行的認知方式來進行的，通過相反的方式即創設相反的問題情境來進行教學會給學生留下更深的影響，從而加深學生對該知識板塊的記憶。如在《復數》一節中，已知a+1/a=1，求a+1/a-2=?學生看到這道題時，多數的同學會很快得出-1的結果，但仔細思考，a+1/a怎么會小于零呢?通過創設這樣與認知相反的問題來引起學生認知上的沖突，從而使得學生能夠更加理解所學的知識點[2]。

三、“情境—數學”教學模式的意義

（一）引導學生對數學知識進行重新的認識

上面我們說到“情境—問題”教學模式的創設需要體現生活性，體現數學最終是為了服務生活的潛在目標。通過“情境—問題”教學模式把數學與生活結合起來，能夠引導學生對數學價值進行重新的認識，學生一旦在頭腦中形成了對數學的正確認識，今后在實際的學習中會更加用功，畢竟他們在意識里產生了“數學是個好東西”的想法。

（二）更新高中數學教學手段，激發學生學習興趣

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一、數形結合思想的基本內涵

數與形是一件事物的兩個方面屬性，也是數學中最基本的研究對象。在一定條件的限制下，數與形之間是可以進行相互轉化的。在高中階段，已經對數與形有了較為透徹的研究，通過將二者相互融合，取長補短，發揮出各自的優勢，優化數學解題路徑，這也就體現出了數學中數形結合的基本理念。在數形結合中，可以通過數字的方式來對形狀的屬性進行描述和解答，也可以通過幾何圖形的方式對數字之間的聯系進行闡述，通過對數形結合解題思想的合理運用，可以有效的優化高中數學的解題流程，樹立解題思路，對于促進高中數學解題能力具有重要的意義。

二、數形結合思想在高中數學解題中的優勢

第一，數形結合思想可以使得高中數學題中，一些具有高度抽象性的問題進行具體化，使其能夠從抽象思維轉變為具象思維，有利于更好的梳理題干，提升對于題型的理解程度。第二，數形結合在解決實數與數軸、圖像與函數、曲線與方程、幾何條件、三角函數、復數、等式、代數式等內容上，具有特殊的作用。通過數形之間相互轉化，可以優化解題流程和思路。第三，數形結合思想在解決一些抽象性問題上，具有其特殊的作用。例如幾何中，一些不明確或無法直接使用的條件，通過數學分析的方式，可以使其條件更加具象化，從而運用在解題當中。第四，數形結合思想運用在高中數學解題中，可以更輕松的發現最優的解題思路，從而避免大量計算與推理，優化解題流程，精簡解題思路，尤其是在選擇題這種不能消耗大量時間的題型上，運用數形結合思想具有其特殊的作用。

三、數形結合思想對高中數學解題思路的優化方式

（一）以圖形解數字

數字是一種較為抽象的單位，在許多題型中，單純用數字進行解答會具有大量的解題流程，既容易出現計算錯誤，影響最終結果，又會導致解題速度較慢，效率難以得到提高。而圖形則具有更加具象的特點，所能夠表達出的信息更加直觀，將數字轉變為形狀，可以使解題流程更加具象化，從而利于分析和解答。將數字轉變為圖形的方法，主要可以應用立體或平面的機和知識，或解析幾何的策略來進行，通過從題目中所給出的有效信息出發，通過結合幾何中的相關公式和定理，來規劃處所能夠運用的圖形，并將題目中所給出的信息帶入到圖形中，就可以得出相應的結論。例如：已知實數x、y滿足x2+y2=3，(y≥0)，求證m=y+1x+3。根據題意可知，m也就是兩點的斜率，而b為直線上的截距。因此，要將m看作圓x2+y2=3，(y≥0)上點M(x，y)和點A(-3，-1)的直線斜率。k1≤m≤k2，其中，k1、k2分別代表兩條斜率。k1=13+姨3=3-姨36。由于AM2的方程為k2x-y+3k2-1=0，其中|3k2-1|k22姨+1=姨3，k2=3+姨216，因此3-姨36≤m≤3+姨216，可得坐標系：

（二）以數字解圖形

圖形雖然較為直觀，其中所包含的信息能夠更快的挑選出來，在許多不需要步驟的解題上具有特殊的用處。然而，在一些應用類的題目中，由于要求書寫解題步驟，許多題目中沒有給出的信息，就需要利用數學計算的方式得出。尤其是對于一些較為復雜的圖形，不但需要將復雜的圖形進行拆分和整理，還要對圖形的特點有明確的把握，從而挖掘題干中的隱藏條件，并將其運用到解題中來。在應用上，首先，要仔細審題，提取出其中所給出的條件，以及解題目標，通過對條件和目標進行分析，提出條件對于整個圖形所存在的特殊意義，并將其利用公式等數學元素表示出來，并進行相應的運算，也就可以得到具體的結論。在坐標系中畫出y=log10π與y=sinx的圖像，可知二者有三個焦點，因此正確答案為C。

（三）圖形與數字之間互相解決

在許多題目中，單純的運用圖形轉變為數字或數字轉變為圖形的方法，很難進行解答，這也就需要靈活的運用數形結合思想，通過運用圖形信息的直觀性，以及數字信息的嚴密性，將數與形進行相互轉變，從而進行數學的解題。在解決這種較為復雜的問題上，要對已知條件和結論進行分析，找出圖形與數字之間內在的邏輯關系，從而尋求正確的思路進行解決。數與形之間相互轉化，其本質就是將數轉變為形與形轉變為數有機結合的方式。數形結合思想是高中數學教學中的重要組成部分。在數學中，數字具有抽象性和嚴密性，而圖形則具有具象性和直觀性。在高中數學解題中，運用數形結合思想可以有效的將抽象問題進行具象化，避免了大量的推理和計算工作，最大限度的降低數學解題出現計算錯誤的問題產生，并且其應用范圍廣泛，通過將二者合理融合，可以有效的優化解題思路和流程，對于提升高中數學的解題能力具有重要的意義。

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學生的數學思維的形成是建立在對數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現的。

然而，在學習高中數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很"明白"，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手；因此，研究高中學生的數學思維障礙對于增強高中學生數學教學的針對性和實效性有十分重要的意義。

一、學生數學思維障礙的成因

根據布魯納的認識發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學是要通過已知的內部認知結構，對"從外到內"的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的"媒介點"，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況（即基礎）或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的"媒介點"時，這些新知識就會被排斥或經"校正"后吸收。

因此，如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利"交接"，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。

二、數學思維障礙的表現

由于高中數學思維障礙產生的原因不盡相同，作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區別，所以，高中數學思維障礙的表現各異，具體的可以概括為：

1.數學思維的膚淺性：由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。由此而產生的后果：

2.數學思維的差異性：由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負實數x，y滿足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解決這個問題時，如對x、y的范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易產生錯誤。另一方面學生不知道用所學的數學概念、方法為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調控，從而造成障礙。如函數y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）對任意實數x都成立，證明函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱。對于這個問題，一些基礎好的同學都不大會做（主要反映寫不清楚），我就動員學生看書，在函數這一章節中找相關的內容看，待看完奇、偶函數、反函數與原函數的圖象對稱性之后，學生也就能較順利的解決這一問題了。

3.數學思維定勢的消極性：由于高中學生已經有相當豐富的解題經驗，因此，有些學生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經驗，思維陷入僵化狀態，不能根據新的問題的特點作出靈活的反應，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。如：z∈c，則復數方程所表示的軌跡是什么？可能會有不少學生不假思索的回答是橢圓，理由是根據橢圓的定義。又如剛學立體幾何時，一提到兩直線垂直，學生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。

由此可見，學生數學思維障礙的形成，不僅不利于學生數學思維的進一步發展，而且也不利于學生解決數學問題能力的提高。所以，在平時的數學教學中注重突破學生的數學思維障礙就顯得尤為重要。

三、學生數學思維障礙的突破

1.在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種"跳一跳，就能摸到桃"的感覺，提高學生學好高中數學的信心。

2.重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。

當前，素質教育已經向我們傳統的高中數學教學提出了更高的要求。但只要我們堅持以學生為主體，以培養學生的思維發展為己任，則勢必會提高高中學生數學教學質量，擺脫題海戰術，真正減輕學生學習數學的負擔，從而為提高高中學生的整體素質作出我們數學教師應有的貢獻。

參考文獻：

1、布魯納《教學論探討》（1966）

2、田萬海著《數學教育學》.浙江教育出版社

3、任樟輝《數學思維論》.1990年，9月版。

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【關鍵詞】類比法；課堂教學；高中數學

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）06-0279-01

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教學中常常會有學生問道如何才能迅速找到解決數學問題的方法？是如何想到用這樣的方法求解？其實，問出這樣的問題恰恰反映學生還欠缺知識的積累，在他們的知識結構中還沒有形成系統認知結構，沒能將以往類似題型與待解的題目聯系起來，從而不能有效將以往學過的知識綜合運用到現實解題中去，也就是缺乏類比數學思想。

1 類比法是重要的思想方法

《普通高中數學課程標準》突出強調高中生的歸納類比等思維能力的培養，提到“高中數學課程應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用。”

2 類比法的數學理論基礎

在高中數學教學中，運用到類比推理思考問題是很多的。老師在講授數學時不僅在傳授數學理論概念以及具體題目時都要經常給予學生類比法的講授和引導。

所謂類比推理，是指“由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征”的一種推理方法。也就是說，如果為了解決數學問題B，聯想到一個已經會解的與B有某種類似特征的數學問題A，于是，我們據此可以推測A與B的類似點；用會解A問題的方法去解決B問題。這是一種尋求解題思路，猜測和發現問題答案或結論的重要方法。

3 類比法在高中數學中運用

類比法作為新舊知識聯系的紐帶，在高中教學應用效果十分明顯，它可以貫通不同的知識板塊，調動學生已掌握的知識，拓展解題思路。這就需要教師在日常的教學活動中要有意識地將類比思想滲透于教學的各個環節中，幫助學生將所學知識條理化，形成系統的知識網絡。

3.1 類比法在概念教學中的運用。 概念是對象本質屬性的一種抽象，數學概念教學就是通過揭示概念的本質特征，使學生更好地理解新概念的內涵與外延。數學教學中，每當提出新概念、講授新知識時便可以運用類比的方法，使學生較容易的從新舊內容的對比中接受新知識，掌握新概念。如函數極限的概念，初學者會比較陌生很難短時間內了解掌握，但教師可以在利用學生對數列極限概念的熟悉來將二者對比講授。教師在講函數f（x）的極限（x+∞）概念時，可用與數列極限定義相類比的方法來啟迪學生。首先講解二者的相似性，即都是描述自變量無限增大時，函數值無限接近于一個定數的變化狀態。根據這一特點，可類比于數列極限定義來定義函數（x+∞）的極限。

3.2類比法在解題教學中的運用。在教學實踐中，經常會出現“學生對老師的課能聽懂，對書本也看懂，但就是一遇到題目就不會解”。其實，這也反映出學生并沒有從根本上掌握住知識，還做不到融會貫通。此時，如果采取類比法就會使所學知識系統化，問題便可以迎刃而解。如：復數的四則運算加減法一節中，可這樣設問：類比已學過的合并同類項，兩個復數a+bi與c+di的和或差應該是什么？讓學生先討論，通過討論很容易得出復數的加減法法則：“兩個復數相加（減），把實部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數單位即可。”然后再深入一步，復數乘法也可和整式乘法類比進行類似處理。然后“在做根式除法如5+55-2時，分子分母都乘以分母的‘有理化因式3+2’，從而使分母有理化。那么在進行復數除法如3+i2-3i時，如何使分母實數化？在了解了共軛復數概念后，學生知道了一對共軛復數之積是一個實數，學生自然而然想到把分子分母都乘以分母的實數化因式，也就是共軛復數2+3i，就可以使分母實數化了。

4 運用類比法應注意的問題

4.1 講解要少而精。 由于面臨升學壓力，在高中數學教學中許多老師由于求勝心切，搞題海戰術，題目講得多而廣，滿堂灌，但都是為講解而講解，往往收效甚微。雖然類比法對學生新知識和新的解題思路的講解都有著事半功倍的效果，但在數學解題中多用類比法，講解題目的時候要少而精，切忌不可以泛泛的為了讓學生掌握該類方法而大量的運用，因為數學中除了類比外，還有歸納等許多好的方法在有些題目中往往會起到更好的效果，這就需要根據不同情形來傳遞給學生掌握不同的數學方法，培養學生的數學思維能力。

4.2 針對且注意反饋。 類比教學中類比材料要有針對性，要從學生作業或試卷中的常見錯誤及缺漏中取得信息并尋求類比的典型材料。另外，課文的許多有內在聯系，貌似實異，似是而非的知識都特別注意加以類比，尋求并分析各自的特點，掌握各知識在解題中的正確運用，避免張冠李戴，達到教與學的最佳效果。此外，在類比教學中還應充分利用反饋效應。運用反饋效應要注意反饋的完整性，及時性和邊疆性。教師要多了解學生，多方面掌握信息，發現問題，解決問題。

4.3 掌握多種類比法。 類比法在高中數學教學中比較常見，其本身又可以根據不同標準進一步細分為：因果類比法、結構類比法、簡化類比法和降元類比法等等。教師在具體的教學實踐中可以根據所要傳遞的知識特點采用不同的類比方法。

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1、知識差異

由于實行九年制義務教育和倡導全面提高學生素質，現行初中數學教材在內容上進行了較大幅度的調整，難度、深度和廣度大大降低了，那些在高中學習中經常應用到的知識，如：十字相乘法、根與系數的關系、實系數一元二次方程根的各種情況等都不作要求或要求較低。高中數學從知識內容上整體數量較初中劇增，高考中對學生的能力提出了更高的要求。新課改的教材內容容量大，高中數學課程分為必修和選修，其中必修課程由5 個模塊組成，選修課程有4 個系列，必修課程是每個學生都必須學習的數學內容，選修課程可根據自身的興趣、志向來選擇不同的組合。

這樣，相比之下，初中數學教學內容少，課堂容量小，而到了高中，知識點增多，課堂容量大，將對初中的數學知識推廣和引申，也是對初中數學知識的完善。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法；②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？高中還將學習統計這些排列的數學方法。在初中數學中，對一個負數開平方無意義，但高中數學卻把數的概念進行推廣，使數的概念擴大到復數范圍等。這些知識同學們在以后的學習中將逐漸學習到。

2、學習方法的差異

初中數學教學內容少，知識難度不大，教學要求較低，且課時較充足。因而課容量小，教學進度較慢，對于某些重點、難點，教師可以有充裕的時間反復講解、多次演練，爭取讓同學們全面理解知識點和解題方法，課后老師布置作業，然后通過大量的課堂內、外練習、課外指導達到對知識的反反復復理解，直到學生掌握。而高中以來，教學教材內涵豐富，教學要求高，教學進度快，知識信息廣泛，題目難度加深，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復強調來排難釋疑；高中課程開設多，每天上八節課，自習時間四節課，這樣各科學習時間將大大減少，而教師布置課外題量相對初中減少，這樣集中數學學習的時間相對比初中少，如果數學教師能像初中那樣監督每個學生的作業和課外練習，就能達到像初中那樣把知識讓每個學生掌握后再學習新課。

3、學生自學能力的差異

初中三年的學習使得學生形成了習慣于圍著教師轉，滿足于你講我聽、你放我錄，缺乏學習主動性，缺乏積極思維，不會自我科學地安排時間，缺乏自學、看書的能力，碰到問題寄希望于老師的講解，依賴性較強。大凡考試中所用的解題方法和數學思想，教師基本上已反復訓練，老師把要學生自己高度深刻理解的問題，都集中表現在他的耐心的講解和大量的訓練中，而且學生的聽課只需要熟記結論就可以做題，學生不需自學。考試時，學生只要記憶概念、公式、及例題類型，一般都可以取得好成績。但高中的知識面廣，要教師訓練完高考中的習題類型是不可能的，只有通過較少的、較典型的一兩道例題講解去融會貫通這一類型習題，如果不自學、不靠大量的閱讀理解，將會使學生失去這一類型習題的解法。另外，科學在不斷地發展，考試在不斷地改革，高考也隨著全面的改革不斷地深入，數學題型的開發在不斷地多樣化，近年來提出了應用型題、探索型題和開放型題，只有靠學生勤于思考，善于歸納總結規律，掌握數學思想方法，做到舉一反三，觸類旁通。

4、思維習慣上的差異

初中學生由于學習數學知識的范圍小，知識層次低，知識面窄，對實際問題的思維受到了局限，就幾何來說，接觸的是現實生活中三維空間，但初中只學了平面幾何，那么就不能對三維空間進行嚴格的邏輯思維和判斷。代數中數的范圍只限定在實數中思維，就不能深刻地解決方程根的類型等。高中數學知識的多元化和廣泛性，將會使學生全面、細致、深刻、嚴密地分析和解決問題。也將培養學生高素質思維，提高學生的思維遞進性。

二、搞好初中數學知識銜接教學

知識是相互聯系的，高中的數學知識與初中的內容也緊密相聯。可以說高中數學知識是初中數學知識的延伸和提高，但并不是簡單的重復，所以在高一的教學中，若能深入研究兩者之間潛在的聯系和區別，正確處理好新舊知識的串連和溝通，便能順利地進行初中數學與高中數學的教學銜接，使學生較快地適應高中數學的學習。

教學中，若能幫助學生先復習初中舊知識，恰當地進行鋪墊，便能分散教學難點，減緩坡度，讓學生在已有的水平上，通過努力，更好地理解和掌握新知識。如：必修1 中第三章“函數的零點”“用二分法求方程的近似解”，可先復習初中九年級下冊第二章中“二次函數的圖象”“二次函數與一元二次方程”；必修2 中第四章“直線、圓的位置關系”，可先復習初中所學的運用距離與半徑的大小關系來判定的方法、圓中弦心距、半徑、弦長之間的關系、配方法等。

三、學法指導，培養良好學習習慣

由于高中課程內容的增加，教師教法的改變，學生學習方法也應隨著及時有效地進行自我調節。在初中，課程內容少，教師講得詳細，類型歸納得全面，學生慣于跟著教師轉；而到了高中，課堂容量大，教學進度快，要求學生必須勤于思考，善于歸納總結，掌握思想方法，所以教師在指導學生學習方法時應以培養學生學習能力為重點，狠抓學習基本環節，包括：

（1）引導學生養成課前預習的習慣。