數(shù)模論文大全11篇

緒論：寫作既是個人情感的抒發(fā)，也是對學(xué)術(shù)真理的探索，歡迎閱讀由發(fā)表云整理的11篇數(shù)模論文范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發(fā)。

篇（1）

某市教育局組織了一項(xiàng)競賽，聘請了來自不同學(xué)校的數(shù)名教師做評委組成評判組。本次競賽制定四條評分規(guī)則，內(nèi)容如下：

（1）評委對本校選手不打分。

（2）每位評委對每位參賽選手（除本校選手外）都必須打分，且所打分?jǐn)?shù)不相同。

（3）評委打分方法為：倒數(shù)第一名記1分，倒數(shù)第二名記2分，依次類推。

（4）比賽結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從高到低排序，依此確定本次競賽的名次，以平均分最高者為第一名，依次類推。

本次比賽中，選手甲所在學(xué)校有一名評委，這位評委將不參加對選手甲的評分，其他選手所在學(xué)校無人擔(dān)任評委。

（Ⅰ）公布評分規(guī)則后，其他選手覺得這種評分規(guī)則對甲更有利，請問這種看法是否有道理？（請說明理由）

（Ⅱ）能否給這次比賽制定更公平的評分規(guī)則？若能，請你給出一個更公平的評分規(guī)則，并說明理由。

本題是一道開放性很強(qiáng)的好題，給學(xué)生留有很大的發(fā)揮空間，不少學(xué)生都有精彩的表現(xiàn)，例如關(guān)于評分規(guī)則的修正，就有下列幾種方案：

方案1：將選手甲所在學(xué)校評委的評分方法改為倒數(shù)第一名記1+分，倒數(shù)第二名記2+，…依次類推；（評分標(biāo)準(zhǔn)）

方案2：將選手甲所在學(xué)校評委的評分方法改為在原來的基礎(chǔ)上乘以；

方案3：對甲評分時，用其他評委的平均分計(jì)做甲所在學(xué)校評委的打分；

然而也有不少學(xué)生為空白，究其原因可能除了時間因素，學(xué)生對于較長的文字表述產(chǎn)生畏懼心理、不能正確閱讀是重要因素。同時，一些學(xué)生由于不能正確理解規(guī)則（3），得出選手甲的平均得分為，其他選手的平均得分為，從而得出錯誤結(jié)論.不少學(xué)生出現(xiàn)“甲所在學(xué)校的評委會故意壓低其他選手的分?jǐn)?shù)，因而對甲有利”的解釋，而沒有意識到作出必要的假設(shè)是數(shù)學(xué)建模方法中的重要且必要的一環(huán)。有些學(xué)生在正確理解題意的基礎(chǔ)上，提出了“規(guī)則對甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同學(xué)少得了1分；甲所在學(xué)校的評委不給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他選手高；相當(dāng)于甲所在學(xué)校的評委把最高分給了甲；甲少拿一個分?jǐn)?shù)，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；等等。以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學(xué)生僅僅停留在這些感性認(rèn)識和文字說明上，沒能進(jìn)一步引進(jìn)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)符號去進(jìn)行理性的分析。如何衡量規(guī)則的公平性是本題的關(guān)鍵，也是建模的原則。很少有學(xué)生能夠明確提出這個原則，有些學(xué)生在第2問評分規(guī)則的修正中，提出“將甲所在學(xué)校的評委從評判組中剔除掉”，這種辦法違背實(shí)際的要求。有些學(xué)生被生活中一些現(xiàn)象誤導(dǎo)，提出“去掉最高分和最低分”的評分規(guī)則修正方法，而不去從數(shù)學(xué)的角度分析和研究。

通過對這道高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽題解答情況的分析，我們了解到學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識和建模能力的現(xiàn)狀不容樂觀。學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用能力上存在的一些問題：（1）數(shù)學(xué)閱讀能力差，誤解題意。（2）數(shù)學(xué)建模方法需要提高。（3）數(shù)學(xué)應(yīng)用意識不盡人意數(shù)學(xué)建模意識很有待加強(qiáng)。新課程標(biāo)準(zhǔn)給數(shù)學(xué)建模提出了更高的要求，也為中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展提供了很好的契機(jī)，相信隨著新課程的實(shí)施，我們高中生的數(shù)學(xué)建模意識和建模能力會有大的提高！

那么高中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)如何進(jìn)行呢？數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。不同于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。通過教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力。數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計(jì)好的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識，鼓勵學(xué)生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。

（一）在教學(xué)中傳授學(xué)生初步的數(shù)學(xué)建模知識。

中學(xué)數(shù)學(xué)建模的目的旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，掌握數(shù)學(xué)建模的方法，為將來的學(xué)習(xí)、工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在教學(xué)時將數(shù)學(xué)建模中最基本的過程教給學(xué)生：利用現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，向?qū)W生介紹一些常用的、典型的數(shù)學(xué)模型。如函數(shù)模型、不等式模型、數(shù)列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師應(yīng)研究在各個教學(xué)章節(jié)中可引入哪些數(shù)學(xué)基本模型問題，如儲蓄問題、信用貸款問題可結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中。教師可以通過教材中一些不大復(fù)雜的應(yīng)用問題，帶著學(xué)生一起來完成數(shù)學(xué)化的過程，給學(xué)生一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的初步體驗(yàn)。

例如在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的最值問題后，通過下面的應(yīng)用題讓學(xué)生懂得如何用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實(shí)際問題。例：客房的定價問題。一個星級旅館有150個客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實(shí)踐，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價為160元時，住房率為55%，每間客房定價為140元時，住房率為65%，

每間客房定價為120元時，住房率為75%，每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使旅館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價？

[簡化假設(shè)]

（1）每間客房最高定價為160元；

（2）設(shè)隨著房價的下降，住房率呈線性增長；

（3）設(shè)旅館每間客房定價相等。

[建立模型]

設(shè)y表示旅館一天的總收入，與160元相比每間客房降低的房價為x元。由假設(shè)（2）可得，每降價1元，住房率就增加。因此

由可知

于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，y的最大值是多少？

[求解模型]

利用二次函數(shù)求最值可得到當(dāng)x=25即住房定價為135元時，y取最大值13668.75（元），

[討論與驗(yàn)證]

（1）容易驗(yàn)證此收入在各種已知定價對應(yīng)的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價為140元也是可以的，因?yàn)榇藭r它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價為180元，住房率應(yīng)為45%，相應(yīng)的收入只有12150元，因此假設(shè)（1）是合理的。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識。

首先，學(xué)生的應(yīng)用意識體現(xiàn)在以下兩個方面：一是面對實(shí)際問題，能主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的。二是認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用：生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在他的身邊。其次，關(guān)于如何培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識：在數(shù)學(xué)教學(xué)和對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，介紹知識的來龍去脈時多與實(shí)際生活相聯(lián)系。例如，日常生活中存在著“不同形式的等量關(guān)系和不等量關(guān)系”以及“變量間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系”、“變相間的非確切的相關(guān)關(guān)系”、“事物發(fā)生的可預(yù)測性，可能性大小”等，這些正是數(shù)學(xué)中引入“方程”、“不等式”、“函數(shù)”“變量間的線性相關(guān)”、“概率”的實(shí)際背景。另外鍛煉學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述周圍世界出現(xiàn)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是一種“世界通用語言”它能夠準(zhǔn)確、清楚、間接地刻畫和描述日常生活中的許多現(xiàn)象。應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的習(xí)慣。例如，當(dāng)學(xué)生乘坐出租車時，他應(yīng)能意識到付費(fèi)與行駛時間或路程之間具有一定的函數(shù)關(guān)系。鼓勵學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題。首先通過觀察分析、提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理，當(dāng)然這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。學(xué)生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學(xué)建模意識貫穿在教學(xué)的始終，也就是要不斷的引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。通過教師的潛移默化，經(jīng)常滲透數(shù)學(xué)建模意識，學(xué)生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行建模的能力。

（三）在教學(xué)中注意聯(lián)系相關(guān)學(xué)科加以運(yùn)用

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)該重視選用數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物、美學(xué)等知識相結(jié)合的跨學(xué)科問題和大量與日常生活相聯(lián)系(如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運(yùn)動等方面)的數(shù)學(xué)問題，從其它學(xué)科中選擇應(yīng)用題，通過構(gòu)建模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決該學(xué)科難題的能力。例如，高中生物學(xué)科以描述性的語言為主，有的學(xué)生往往以為學(xué)好生物學(xué)是與數(shù)學(xué)沒有關(guān)系的。他們尚未樹立理科意識，缺乏理科思維。比如：他們不會用數(shù)學(xué)上的排列與組合來分析減數(shù)分裂過程配子的基因組成；也不會用數(shù)學(xué)上的概率的相加、相乘原理來解決一些遺傳病機(jī)率的計(jì)算等等。這些需要教師在平時相應(yīng)的課堂內(nèi)容教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。因此我們在教學(xué)中應(yīng)注意與其它學(xué)科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學(xué)生加深對其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識的一個不可忽視的途徑。又例如教了正弦函數(shù)后，可引導(dǎo)學(xué)生用模型函數(shù)寫出物理中振動圖象或交流圖象的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

最后，為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識。中學(xué)數(shù)學(xué)教師除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。中學(xué)教師只有通過對數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究，才能準(zhǔn)確地的把握數(shù)學(xué)建模問題的深度和難度，更好地推動中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的發(fā)展。

論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)應(yīng)用意識數(shù)學(xué)建模教學(xué)

論文摘要：為增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，分析了高中數(shù)學(xué)建模的必要性，并通過對高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用及數(shù)學(xué)建模方面存在的問題，并針對問題提出了關(guān)于高中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的幾點(diǎn)意見。

參考文獻(xiàn):

1.《問題解決的數(shù)學(xué)模型方法》北京師范大學(xué)出版社，1999.8

篇（2）

高職院校高等數(shù)學(xué)課時普遍較本科院校少。項(xiàng)目教學(xué)法不僅解決了課時少的難題，更提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與效率，讓學(xué)生在完成項(xiàng)目的過程中積極、主動、輕松地掌握知識。當(dāng)然，課時的減少，并不代表教師的工作量減少。任務(wù)的選取、布置、指導(dǎo)和評價都對教師提出了更高的要求。

（二）拓展學(xué)生的知識面，掌握數(shù)學(xué)建模方法

因?yàn)轫?xiàng)目任務(wù)往往是跨學(xué)科、跨專業(yè)的。學(xué)生在項(xiàng)目的完成過程中自然拓寬了知識面，當(dāng)然更主要的是掌握了數(shù)學(xué)建模的方法，這種方法正是教師“授之以漁”中的“漁”。

（三）在實(shí)踐中培養(yǎng)綜合職業(yè)能力

由于從項(xiàng)目的計(jì)劃、實(shí)施、完成及評價均由學(xué)生自主完成，對學(xué)生的綜合能力培養(yǎng)提出了更高的要求。學(xué)生在項(xiàng)目的完成中要真正地走入社會，學(xué)會收集資料，學(xué)會調(diào)研，學(xué)會與人溝通，學(xué)會團(tuán)結(jié)與分工合作，在實(shí)踐中鍛煉自己。

二、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的實(shí)施對象

由于數(shù)學(xué)建模教學(xué)面對的是全院學(xué)生。學(xué)生的水平參差不齊。本著因材施教的教學(xué)基本原則，大部分學(xué)院數(shù)學(xué)建模的教學(xué)均采取分層教學(xué)模式，一般分為基礎(chǔ)普及層、能力提高層和優(yōu)秀拔尖層。針對基礎(chǔ)普及層的學(xué)生，一般教師會通過啟發(fā)式教學(xué)法和案例教學(xué)法，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入簡單數(shù)學(xué)建模案例，讓學(xué)生初步體會數(shù)學(xué)建模的思想。如在函數(shù)最值應(yīng)用中可引入易拉罐形狀的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題、綠地噴澆設(shè)施的節(jié)水設(shè)想和競爭性產(chǎn)品生產(chǎn)中的利潤最大化等模型；在常微分方程中引入人口問題、刑事偵查中死亡時間的鑒定和名畫偽造案的偵破問題等模型；在線性代數(shù)中引入矩陣密碼、投入產(chǎn)出等模型；在概率統(tǒng)計(jì)中引入考試成績的標(biāo)準(zhǔn)分、保險問題、風(fēng)險分析等模型，使學(xué)生從各類建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣。針對能力提高層和優(yōu)秀拔尖層的學(xué)生一般采用實(shí)驗(yàn)教學(xué)法與項(xiàng)目教學(xué)法，可通過開設(shè)選修課《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》和數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班的形式進(jìn)行。另外，針對這類學(xué)生，一般院校還會積極組織他們參加各類數(shù)學(xué)建模競賽，申報(bào)省大學(xué)生科研項(xiàng)目等。事實(shí)證明，經(jīng)歷過數(shù)學(xué)建模錘煉后的學(xué)生，自主學(xué)習(xí)、科研能力、實(shí)踐能力、自信心等都明顯增強(qiáng)，而且大部分同學(xué)都會進(jìn)入本科院校繼續(xù)學(xué)習(xí)深造。

三、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的實(shí)施過程

（一）項(xiàng)目選取

首先，教師根據(jù)課程特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)相應(yīng)的項(xiàng)目任務(wù)并下達(dá)給學(xué)生。項(xiàng)目可分為初等模型、微分方程模型、預(yù)測類模型、圖論模型、規(guī)劃類模型、評價類模型、概率類模型和多元統(tǒng)計(jì)分析這八類，每一類設(shè)計(jì)不同專業(yè)領(lǐng)域的項(xiàng)目。學(xué)生可根據(jù)自身專業(yè)和興趣選擇不同的任務(wù)，也可根據(jù)實(shí)際自選任務(wù)。項(xiàng)目任務(wù)的設(shè)計(jì)要具有示范性、覆蓋性、實(shí)用性、綜合性和可行性。

（二）項(xiàng)目分析

為使項(xiàng)目活動順利開展，教師可將與任務(wù)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念或內(nèi)容呈現(xiàn)出來，供學(xué)生參考。指導(dǎo)學(xué)生將任務(wù)細(xì)化，明確任務(wù)目標(biāo)。對于一些較復(fù)雜的項(xiàng)目，可以指導(dǎo)學(xué)生將其階段化，分為若干子項(xiàng)目加以完成。

（三）制定計(jì)劃

學(xué)生根據(jù)任務(wù)目標(biāo)，制定實(shí)施計(jì)劃，具體到時間與人員分工，在制定計(jì)劃時可兼顧學(xué)生自身特點(diǎn)，如計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生可以以程序的編寫和運(yùn)行為主。

（四）自主學(xué)習(xí)

知識的理解和運(yùn)用、軟件的學(xué)習(xí)和使用、算法的編寫與運(yùn)行等，這些具體細(xì)節(jié)都需要學(xué)生自主地去學(xué)習(xí)和探究。

（五）完成任務(wù)

根據(jù)實(shí)施計(jì)劃，分階段、分步驟、分工合作完成數(shù)據(jù)的收集與整理、模型的建立與求解以及論文的寫作。

（六）評價、修改與推廣

在這一環(huán)節(jié)，主要以學(xué)生代表展示成果的方式進(jìn)行，對已建立的模型進(jìn)行講解與分析，對已完成的任務(wù)開展自評和互評，最后由教師總評。學(xué)生再根據(jù)教師和學(xué)生的意見對模型進(jìn)行修改與推廣。

四、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)的評價體系

（一）過程性評價

主要指項(xiàng)目進(jìn)行過程中學(xué)生的全方面表現(xiàn)，主要包括八個方面：1.認(rèn)真，自主學(xué)習(xí)能力強(qiáng)；2.有創(chuàng)新性，敢于挑戰(zhàn)；3.團(tuán)結(jié)友好，善與人溝通；4.考慮問題全面；5.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)厚實(shí)；6.編程能力強(qiáng)；7.寫作能力強(qiáng)；8.有領(lǐng)導(dǎo)才能。評價結(jié)果綜合學(xué)生自評、學(xué)生互評和教師評價三方面。這樣的評價方式，不僅要求學(xué)生們對自己能力的了解以及相互之間相互了解，更需要教師對每個學(xué)生的了解，要求教師與學(xué)生的零距離接觸，充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)性作用。

（二）終結(jié)性評價

主要指對最終成果的評價，以數(shù)模論文假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主。

五、高職數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目教學(xué)案例

下面以圖論模型的項(xiàng)目教學(xué)為例說明具體實(shí)施過程。圖論是用點(diǎn)和邊來描述事物和事物之間的關(guān)系，是對實(shí)際問題的一種抽象，能夠把紛雜的信息變得有序、直觀、清晰。自然界和人類社會中的大量事物以及事物之間的關(guān)系,常可用圖形來描述。例如，物質(zhì)結(jié)構(gòu)、電氣網(wǎng)絡(luò)、城市規(guī)劃、交通運(yùn)輸、信息傳輸、工作調(diào)配、事物關(guān)系等等都可以用點(diǎn)和線連起來所組成的圖形來模擬并轉(zhuǎn)化為圖論的問題，再結(jié)合圖論算法，計(jì)算機(jī)編程，從而解決實(shí)際問題。本教學(xué)單元從圖論的實(shí)際應(yīng)用中選取“物流線路與管網(wǎng)設(shè)計(jì)”這兩個典型應(yīng)用作為項(xiàng)目任務(wù)導(dǎo)入。

項(xiàng)目1：（物流線路問題）物流運(yùn)輸作為重要的物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，其方案的設(shè)計(jì)直接影響企業(yè)的運(yùn)輸成本和運(yùn)輸時間等。請以實(shí)際城區(qū)主干線為例，構(gòu)建圖論模型，利用圖論算法，給出城區(qū)主干線上的結(jié)點(diǎn)間最短路徑，并通過構(gòu)建歐拉回路，給出最優(yōu)巡回運(yùn)輸路徑。相關(guān)知識：無向連通圖，一筆畫問題，歐拉回路，歷遍性最短路，最大流，Dijkstra、Floyd、Edmonds、Fleury等算法。教師活動：布置任務(wù)，提供必要的知識和軟件指導(dǎo)，協(xié)助組員分工，引導(dǎo)學(xué)生順利完成任務(wù)。學(xué)生活動：明確任務(wù)目標(biāo)，根據(jù)自身特點(diǎn)組隊(duì)，制定實(shí)施計(jì)劃并分工合作，完成任務(wù)。（1）基本知識與軟件的學(xué)習(xí)階段；（2）數(shù)據(jù)的收集與整理階段；（3）城區(qū)主干線圖論模型的構(gòu)建；（4）利用Dijkstra和Floyd算法計(jì)算出結(jié)點(diǎn)間最短路徑；（5）利用Edmonds和Fleury求最小權(quán)理想匹配和歐拉巡回。項(xiàng)目推廣：車載導(dǎo)航儀、中心選址問題、最佳災(zāi)情巡視路線等。

篇（3）

2教學(xué)變革的嘗試

由于課程的實(shí)用性和重要性，學(xué)生普遍對數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程比較感興趣。如何調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，變“被動灌輸”為“主動探索”，在有限的課時內(nèi)學(xué)習(xí)較多的統(tǒng)計(jì)知識呢?我們教學(xué)變革主要采取如下措施。

2．1教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整為了避免重復(fù)學(xué)習(xí)，我們對原來本科時已經(jīng)學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布、參數(shù)估計(jì)這部分內(nèi)容只簡單復(fù)習(xí)，溫故知新，不再細(xì)講。而對目前生物醫(yī)學(xué)工程中應(yīng)用較普及的方差分析、回歸分析，我們補(bǔ)充了生物醫(yī)學(xué)方面的實(shí)例，運(yùn)用軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并對運(yùn)行結(jié)果詳細(xì)講解。對于教材未介紹的非參數(shù)檢驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)部分，補(bǔ)充幾種常見的統(tǒng)計(jì)方法。對于較復(fù)雜的多元統(tǒng)計(jì)和現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)部分，我們引入PBL教學(xué)模式，通過分組、問題探究、成果匯報(bào)、反思和完善幾個步驟，完成學(xué)習(xí)內(nèi)容。

2．2教學(xué)方式的改進(jìn)在課程的教學(xué)中，我們盡量做到深入淺出，回避復(fù)雜的推導(dǎo)、運(yùn)算和證明，強(qiáng)調(diào)對統(tǒng)計(jì)思想的理解以及統(tǒng)計(jì)方法的運(yùn)用，同時注重和統(tǒng)計(jì)軟件的結(jié)合。統(tǒng)計(jì)從某種意義上說是與數(shù)據(jù)打交道的科學(xué)，沒有實(shí)際數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，不利于學(xué)生對統(tǒng)計(jì)方法的理解和應(yīng)用。教學(xué)中如果仍然當(dāng)成數(shù)學(xué)課程，注重統(tǒng)計(jì)理論中定理和公式的推導(dǎo)演算，而缺乏實(shí)際的數(shù)據(jù)分析訓(xùn)練，學(xué)生就無法對統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用性及重要性有深刻的體會，也不利于保持和提高他們的學(xué)習(xí)興趣。我們補(bǔ)充了生物醫(yī)學(xué)方面的實(shí)例，通過數(shù)據(jù)分析，提高他們對統(tǒng)計(jì)方法的實(shí)際應(yīng)用能力，也為后續(xù)PBL教學(xué)的順利開展做準(zhǔn)備。大部分學(xué)生在本科階段已學(xué)習(xí)Matlab軟件，而且工科學(xué)生計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力較強(qiáng)，因此我們要求學(xué)生自學(xué)一門統(tǒng)計(jì)軟件(如SPSS、R等)或使用Mat-lab，對所有的實(shí)例在軟件中實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析。軟件輸出的是數(shù)值或圖表，并沒有詳細(xì)的解釋、分析和結(jié)論，學(xué)生必須結(jié)合數(shù)據(jù)背景知識，應(yīng)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)行分析推斷，最后給出結(jié)論和合理的解釋。

2．3考核方案的變革注重平時考核，淡化期末考試。考試不是最終目的，只是促進(jìn)學(xué)習(xí)而已。因此，成績是對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的全面評價，不僅包括教材知識點(diǎn)的掌握情況，還有自主學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用的能力。我們將PBL案例分析的評價和期末考試的成績各設(shè)置為50%的比例，鼓勵學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高實(shí)際數(shù)據(jù)分析的能力。

3結(jié)合PBL教學(xué)模式

統(tǒng)計(jì)學(xué)的飛速發(fā)展要求研究生掌握必備的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識外，能夠進(jìn)行知識的自我更新，具有不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)新知識的能力。PBL教學(xué)模式在提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生成為自主學(xué)習(xí)者、終身學(xué)習(xí)者等方面已被廣泛認(rèn)同。雖然生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)研究生基礎(chǔ)知識比較扎實(shí)，但統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展以及軟件的學(xué)習(xí)交叉，要想學(xué)好這門課程并不輕松。在研究生教班開展PBL教學(xué)的有利條件是:①教班人數(shù)較少，分組進(jìn)行問題探索可以實(shí)現(xiàn)。②學(xué)生對數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程比較感興趣，積極性較高。③現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)緊密聯(lián)系，但醫(yī)學(xué)工程學(xué)生計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力較強(qiáng)，在統(tǒng)計(jì)軟件的學(xué)習(xí)和編程方面具有優(yōu)勢。④教研組在數(shù)模競賽培訓(xùn)和本科畢業(yè)設(shè)計(jì)中積累了一些素材，可以將內(nèi)容完善成PBL問題。我們引入PBL教學(xué)模式，進(jìn)行了初步探索。

3．1前期準(zhǔn)備推薦一些統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的網(wǎng)站和書籍。簡單介紹前沿的方法和知識，補(bǔ)充回歸、相關(guān)、時間序列分析以及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等內(nèi)容，對于隨機(jī)模擬、MC-MC方法也舉例說明。教師將原先積累了一些實(shí)例設(shè)計(jì)成若干問題，讓學(xué)生進(jìn)行選題，組成學(xué)習(xí)小組(每組5－8人)，確定分工。我們將多元統(tǒng)計(jì)分析和傳染病預(yù)測的案例編寫成4個問題，提前半個月交給學(xué)生，等他們分組確定后，分別給予一定指導(dǎo)。

3．2問題探究小組成員分工合作，查找文獻(xiàn)、學(xué)習(xí)算法，圍繞選定的問題進(jìn)行準(zhǔn)備。通過交流和討論，將各自學(xué)到的知識進(jìn)行整合，進(jìn)而運(yùn)用這些知識重新分析上一階段提出的問題，思考并提出解決方案。最后，對問題形成一個附有詳細(xì)統(tǒng)計(jì)算法和計(jì)算結(jié)果的論文報(bào)告交給教師。

篇（4）

一、引言

作為索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型的一個具體形式,20世紀(jì)30年代初,美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家柯布和道格拉斯提出下列生產(chǎn)函數(shù):

Y=Kα(AL)1-α,(0<α<1)

式中,K表示資本,L表示勞動,A表示“知識”或“勞動的有效性”,AL表示有效勞動,α是參數(shù),Y表示產(chǎn)量。這就是著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。柯布和道格拉斯用美國1899-1922年制造業(yè)的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)資料來估計(jì)模型的參數(shù),得出:

Y=1.01L0.75K0.25

對這個生產(chǎn)函數(shù)以及柯布、道格拉斯所做的工作,余斌,程立如提出了下列批評[1]:

第一,柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)“論證”了資本家的所得不是來自勞動所創(chuàng)造的剩余價值,而是來自資本的邊際產(chǎn)出。從而成為為資本主義制度進(jìn)行辯護(hù)的工具。第二,柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中遺漏了許多可能會影響產(chǎn)出的其他的重要因素。如:機(jī)器性能的提高、由于經(jīng)濟(jì)的短期波動而導(dǎo)致的資本閑置或過度使用的情況、工人每天(或每周或每年)工作小時數(shù)的變化、勞動者素質(zhì)的變化、勞動強(qiáng)度的變化等。因而柯布和道格拉斯對模型所做的估計(jì)并無實(shí)際價值。本論文由整理提供第三,本來,生產(chǎn)函數(shù)須在一定技術(shù)條件以及一定的資本有機(jī)構(gòu)成下(這兩個條件在不同的生產(chǎn)部門有很大的差別)來討論投入對產(chǎn)出的影響。可是,在柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中,這些條件是隨意可變的。文獻(xiàn)[1]舉例說,由于這一疏忽,可能會引出“用1個輪胎配16個汽缸可以組成一輛汽車”這樣的荒謬結(jié)論。

作為與余斌,程立如觀點(diǎn)的商榷,程細(xì)玉、陳進(jìn)坤闡述了下列幾個基本觀點(diǎn)[2]:第一,一個經(jīng)濟(jì)模型是這樣建立起來的:在一定經(jīng)濟(jì)理論的背景下,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象眾多的影響因素進(jìn)行檢驗(yàn)、比較、篩選,找出其中一種或若干種最重要的因素,用他們來構(gòu)建模型(而把其他次要因素的作用效果納入模型的誤差項(xiàng)),然后用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)模型的參數(shù),最后再對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)和一系列統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是通過以上程序建立的,因而是科學(xué)的。第二,影響產(chǎn)出量的要素有哪些?在供給不足的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中,影響產(chǎn)出量的要素是:勞動、資本、技術(shù)等等;在需求不足的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中,影響產(chǎn)出量的要素是:居民收入、人口、消費(fèi)習(xí)慣等。第三,柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)把技術(shù)條件假定為不變,這的確造成了模型與現(xiàn)實(shí)之間的距離。針對這一缺點(diǎn),后來的學(xué)者對柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),把技術(shù)進(jìn)步速度納入了模型。第四,用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)了模型的參數(shù)之后,要檢查所得的結(jié)果是否符合經(jīng)濟(jì)實(shí)際,接著還要進(jìn)行一系列統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。第五,建立經(jīng)濟(jì)模型時要考慮所選變量數(shù)據(jù)的可得性。能夠獲得數(shù)據(jù)的變量才具有實(shí)際意義,才能成為模型中的變量。

這兩篇文章所提出的問題以及二者之間的爭論,引起了筆者的若干思考。

二、數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型

人們在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和進(jìn)行計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究時,必須要把數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型和計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型清楚地區(qū)分開。事實(shí)上,柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(以及作為該模型一般形式的索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型)屬于數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型范疇。后來,柯布和道格拉斯用美國1899-1922年制造業(yè)的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)資料來估計(jì)模型的參數(shù),這是把數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型直接移作計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來使用(我們將要在后面談到,這種做法存在著很大的風(fēng)險),此時,柯布和道格拉斯所作的事情已不再是研究一個數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,而是在估計(jì)一個計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型(此時,模型中加上了隨機(jī)項(xiàng),而數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型是無所謂隨機(jī)項(xiàng)的)。

數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對經(jīng)濟(jì)學(xué)理論進(jìn)行陳述和研究的一個分支學(xué)科。數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型,是為了探索不能用數(shù)字表現(xiàn)的數(shù)量之間的關(guān)系和不能用代數(shù)表現(xiàn)的函數(shù)之間的關(guān)系,這種模型旨在通過數(shù)學(xué)邏輯推理來闡釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的關(guān)系和演變趨勢。這就是說,數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)是在理論的層面上運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來研究和表述經(jīng)濟(jì)理論,而不是在經(jīng)驗(yàn)的層面上對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在具體時間、地點(diǎn)、條件下的結(jié)局進(jìn)行描述、估計(jì)或預(yù)測。

余、程的文章和程、陳的文章同樣都把數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型與計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型混為一談了。余、程文章的主旨是要批評一個數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型(柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)),程、陳文章的主旨則是要為這個數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型辯護(hù)。但是,兩篇論文的內(nèi)容,其實(shí)卻撇開了數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,說的都是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的事情。例如,余、程的文章批評說,模型中遺漏了若干變量、沒有把技術(shù)條件固定住。對于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型,這些批評是對的;對于數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,這些批評則是不對的。再如,程、陳的文章一開篇,便開宗明義地說,經(jīng)濟(jì)模型中會含有一個誤差項(xiàng)(隨機(jī)項(xiàng)),顯然,作者這里所說的“經(jīng)濟(jì)模型”指的是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型而不是數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,因?yàn)?數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型無所謂隨機(jī)項(xiàng),計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型才考慮這個項(xiàng)。該論文接下來所說的收集樣本數(shù)據(jù)、對模型進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)等等,也全都是建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時候的事情。

把數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型與計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型混為一談的現(xiàn)象,在一些研究人員的成果中也常可見到。有的作者用索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)做計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析時,把索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型里假定為外生的那些變量作為計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中理所當(dāng)然的假定前提,并相應(yīng)地假定隨機(jī)項(xiàng)的期望值為0。這些研究人員認(rèn)為,由于現(xiàn)在使用的是索洛-斯旺模型而不是別的其它模型,就應(yīng)該把索洛-斯旺模型的假定作為對現(xiàn)實(shí)生活的假定,認(rèn)為這就是以經(jīng)濟(jì)學(xué)理論為根據(jù)。這些作者犯了用模型定義現(xiàn)實(shí)世界的錯誤。計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的目標(biāo)是盡可能準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)世界。現(xiàn)實(shí)世界只有一個。現(xiàn)實(shí)世界是檢驗(yàn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析正確性的唯一標(biāo)準(zhǔn)。

現(xiàn)在我們來考察數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型。

一個經(jīng)濟(jì)學(xué)原理,可以用文字闡述,可以用圖形來直觀地描述,也可以用數(shù)學(xué)語言(數(shù)學(xué)模型———數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型)來表述。三者目標(biāo)相同,都是為了闡釋經(jīng)濟(jì)學(xué)原理(而不是模擬現(xiàn)實(shí)世界)。

為了使經(jīng)濟(jì)原理的闡釋更易于理解,常常需要把現(xiàn)實(shí)世界加以簡化(簡化的世界當(dāng)然已經(jīng)不是真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界)。這是允許的。因?yàn)閿?shù)理經(jīng)濟(jì)模型的目的并不是模擬真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界,而僅僅是為理解這個世界的特定特征提供見解。這種簡化現(xiàn)實(shí)世界的方法叫做抽象法。抽象法是科學(xué)研究中一種常用的方法。馬克思在《資本論》中,為了闡述勞動創(chuàng)造價值的理論和剩余價值理論,舍象掉了生產(chǎn)商品的勞動的具體形態(tài)

而僅僅從量上考察抽象的人類勞動;舍象掉了商品的使用價值而僅僅考察商品的價值———生產(chǎn)商品的社會必要勞動時間。在自然科學(xué)里,抽象法的使用也比比皆是。例如,物理學(xué)在闡釋一個力學(xué)原理時,常常會把摩擦力忽略不計(jì)。索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型(以及作為它的具體形式的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù))同樣使用了抽象法,把現(xiàn)實(shí)世界中一些本來對經(jīng)濟(jì)增長有影響的因素假定為不變。該模型假定,產(chǎn)出量Y對于資本K和有效勞動AL是規(guī)模報(bào)酬不變的,即:如果資本和有效勞動加倍,則產(chǎn)量加倍———這意味著,對新投入品的使用方式與對已有投入品的使用方式一樣———這也就是假定,資本有機(jī)構(gòu)成不變。

美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家戴維·羅默更具體地指出了這個模型所應(yīng)用的假定:只有一種產(chǎn)品;沒有政府;就業(yè)的波動被忽略;儲蓄率、折舊率、人口增長率和技術(shù)進(jìn)步率均不變[3]。對現(xiàn)實(shí)世界所作的舍象越多,模型越容易理解,但是,模擬現(xiàn)實(shí)世界的能力越差。為了縮小數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型與現(xiàn)實(shí)世界的距離,經(jīng)濟(jì)學(xué)家會把被舍象掉的東西逐步納入模型,從而使得數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型越來越深刻。索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型假定儲蓄率s不變,在這一假定下,t時刻的投資sY(t)是t時刻產(chǎn)出量的一個固定的比例,可是,在實(shí)際上,s是在家庭和廠商各自追求效用最大化的相互作用下對家庭的收入進(jìn)行“消費(fèi)”和“儲蓄(即廠商的投資)”分配的權(quán)衡之后形成的,它不是固定的;索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型假定人口增長率不變,可是,在實(shí)際上,人口增長率也不會固定不變。這種過度的舍象使得索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型不能很好地解釋經(jīng)濟(jì)增長。本論文由整理提供后來提出的拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型,通過“產(chǎn)量減消費(fèi)”來計(jì)算投資,其中的消費(fèi)通過對家庭的效用函數(shù)在效用最大化的目標(biāo)下求解得到,這樣,就把儲蓄率從外生不變轉(zhuǎn)變成為內(nèi)生變化;再后來,進(jìn)一步把人口變動從外生轉(zhuǎn)變成為內(nèi)生,提出了有移民的經(jīng)濟(jì)增長模型(包括有移民的索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型和有移民的拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型)。在這里我們看到了數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型從簡單到復(fù)雜,對現(xiàn)實(shí)世界的解釋能力從低到高的發(fā)展過程。順便說一句:程、陳文章所謂在供給不足的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中影響產(chǎn)出量的要素是勞動、資本和技術(shù),在需求不足的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中影響產(chǎn)出量的要素是居民收入、人口和消費(fèi)習(xí)慣的說法顯然是錯誤的———事實(shí)是,索洛-斯旺經(jīng)濟(jì)增長模型舍象掉了居民收入、人口和消費(fèi)習(xí)慣等變量,后來一些進(jìn)一步的模型把這些變量加了進(jìn)來。

歸根到底,數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型的目的不是模擬現(xiàn)實(shí)世界,而只不過是解釋現(xiàn)實(shí)世界的某種特征。事實(shí)上,我們已經(jīng)擁有了一個完全現(xiàn)實(shí)的模型———這個世界本身。不幸的是,這個“模型”太復(fù)雜了,復(fù)雜得難以理解。從解釋現(xiàn)實(shí)世界的某種特征這一目的出發(fā),我們必須要對現(xiàn)實(shí)世界加以簡化。上面所敘述的經(jīng)濟(jì)增長模型的簡要發(fā)展過程告訴我們,在闡述科學(xué)理論的時候,對現(xiàn)實(shí)世界所作簡化的合理性會有程度之分。在這里,“所探討的問題”是判斷合理性的根據(jù)。如果一個簡化性的假定使得模型對所探討的問題給出了不正確的答案,那么,這樣的簡化是不合理的;如果相反,所作的簡化是合理的。盡管這時的模型仍然是“缺乏現(xiàn)實(shí)性”的,但是,此時的缺乏現(xiàn)實(shí)性應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是模型的優(yōu)點(diǎn),因?yàn)?此時的模型十分清楚地把我們所關(guān)注的效應(yīng)凸現(xiàn)出來(把這些效應(yīng)與紛繁的現(xiàn)實(shí)世界隔離開來),使得問題更易于理解。所以無論如何,任何一個數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型,都逃避不了要對現(xiàn)實(shí)世界做出若干簡化性的假定。順便提一下,在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域,人們有時會考慮經(jīng)濟(jì)問題的數(shù)學(xué)建模課題。此時,研究目標(biāo)是,依據(jù)所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型來求得我們所關(guān)心的數(shù)學(xué)解。例如,譚永基把索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)作為經(jīng)濟(jì)增長的數(shù)學(xué)模型,要求導(dǎo)出下面的解:在一定的總成本下,怎樣分配投資和勞動可以使產(chǎn)量最大;或是,在一定的產(chǎn)量下,怎樣分配投資和勞動可以使成本最省[4]。在這里,對于所推出的結(jié)果,研究人員應(yīng)當(dāng)負(fù)責(zé)任地說明,這些結(jié)果是在何種假定下推出來的;另外,這里所推導(dǎo)的結(jié)果究竟有多大的參考價值似乎值得懷疑,因?yàn)?柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)所設(shè)定的“簡化世界”距離現(xiàn)實(shí)太遠(yuǎn)了。

三、基于估計(jì)因果效應(yīng)研究目標(biāo)的

計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型(本文只考慮回歸模型形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型)的功用是:預(yù)測、控制、進(jìn)行因果效應(yīng)估計(jì)①(測算某一個自變量對因變量的影響效應(yīng))。在不同的功能要求下,對于模型的構(gòu)造有不同的標(biāo)準(zhǔn)。本文要討論的是基于估計(jì)因果效應(yīng)這一目標(biāo),對計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型所提出的要求。從原則上說,為了在變量的因果關(guān)系中確定各個變量的影響效應(yīng),所用的模型應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)世界本身。拿經(jīng)濟(jì)增長模型來說,假若我們有一個描述經(jīng)濟(jì)增長的現(xiàn)實(shí)世界的模型,那么,對于一個特定的時空,它就會確定地反映出該時空下每個原因變量對經(jīng)濟(jì)增長的影響效應(yīng)。然而,這是不可能做到的。事實(shí)上,我們不可能把影響(決定)經(jīng)濟(jì)增長的全部因素?zé)o遺漏地列舉出來,我們所建立的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型無法避免地要漏掉一些變量。由于無法控制被漏掉的變量的值,因而把某一時空下模型中各個變量的值輸入以后所算出的該時空的經(jīng)濟(jì)增長數(shù)值與實(shí)際數(shù)字之間會有一個誤差(它的大小事先不能確定,是一個隨機(jī)項(xiàng))。所以,計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型一定會有一個隨機(jī)項(xiàng),它是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型對現(xiàn)實(shí)世界所作的模擬與真實(shí)的現(xiàn)實(shí)世界之間的差距。數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型沒有這樣的項(xiàng),因?yàn)?數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型旨在設(shè)計(jì)一個簡化的世界來解釋某一個問題,而不是用來測算現(xiàn)實(shí)世界。那么,用于估計(jì)因果效應(yīng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型應(yīng)當(dāng)滿足何種要求呢?仍然拿經(jīng)濟(jì)增長模型來說。我們所建立的一個關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型,它的隨機(jī)項(xiàng)里會包括被遺漏的影響經(jīng)濟(jì)增長的兩種類型的因素:一類是對經(jīng)濟(jì)增長有舉足輕重影響的因素,另一類是大量均勻小的偶然性的影響因素。假若把索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)當(dāng)作計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型使用,那么,被該函數(shù)假定為外生的儲蓄率、折舊率、人口增長率、技術(shù)進(jìn)步率等變量便屬于隨機(jī)項(xiàng)里面的第一類影響因素。除此以外,在這個模型的隨機(jī)項(xiàng)里邊,還包含有許多其它的對經(jīng)濟(jì)增長有舉足輕重影響的因素。例如,美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家斯蒂格利茨講過,經(jīng)濟(jì)增長有四個重要的源泉:資本品積累(投資)的增加;勞動力質(zhì)量提高;資源配置效率的改善;技術(shù)變革[5]。這里,所謂資源配置效率的改善,指的是把資源(例如勞動)從生產(chǎn)率低的部門(如傳統(tǒng)農(nóng)業(yè))轉(zhuǎn)移到高生產(chǎn)率的現(xiàn)代制造業(yè)。索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)假定只有一種產(chǎn)品,當(dāng)然不會考慮資源在部門間轉(zhuǎn)移的情況,換句話說,這個變量被放在了隨機(jī)項(xiàng)之中。再如,索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)假定了一個封閉的經(jīng)濟(jì),可是,現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)都是開放經(jīng)濟(jì)。在一個封閉經(jīng)濟(jì)中,投資水平由國內(nèi)儲蓄水平?jīng)Q定,投資等于儲蓄,沒有更多的儲蓄,投資便不能增加;相反,在一個開放經(jīng)濟(jì)中,這兩者之間的關(guān)系是松散的,因?yàn)橐粋€國家可以從國外借款來為其投資提供資金。于是,儲蓄和投資之間的聯(lián)系這個變量被放在了隨機(jī)項(xiàng)之中。又如,政府的宏觀經(jīng)濟(jì)政策、政府的公共支出無疑是經(jīng)濟(jì)增長的重要影響因素。可是,索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)假定沒有政府。于是,這些變量也被放在了隨機(jī)項(xiàng)之中。除了這三個變量之外,還可以舉出更多。這就是說,當(dāng)我們把索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)當(dāng)作計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型使用的時候,在模型的隨機(jī)項(xiàng)里面,一方面包含有大量均勻小的偶然性影響因素,另一方面還包含有許多對經(jīng)濟(jì)增長有舉足輕重影響的因素。其中的均勻小的偶然性影響因素,各自一方面與模型的結(jié)果變量(因變量)Y相關(guān),另一方面與模型的解釋變量(自變量)K以及AL獨(dú)立;而其中的對經(jīng)濟(jì)增長有舉足輕重影響的因素中,會有一些既與Y相關(guān),又與K、AL或其中的某一個相關(guān)。對上述后一類變量,即遺漏在模型外邊的(因而包含在隨機(jī)項(xiàng)中的)既與因變量相關(guān)又與自變量相關(guān)的變量,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)給予特別的關(guān)注,專門把它們叫做遺漏變量。當(dāng)使用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型測算因果效應(yīng)的時候,如果存在遺漏變量,會得出錯誤的因果效應(yīng)結(jié)論。人們熟知,做線性回歸分析時,對模型的隨機(jī)項(xiàng)有若干條假定,其中的一條是:隨機(jī)項(xiàng)的期望值為0。當(dāng)隨機(jī)項(xiàng)期望值為0時,我們所得到的模型回歸系數(shù)的最小平方估計(jì)量是無偏的,反之,估計(jì)量有偏。什么時候會發(fā)生隨機(jī)項(xiàng)期望值不為0的情況呢?美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家詹姆斯·H.斯托克和馬克·W.沃特森[6]97-97,122-123指出,當(dāng)模型外存在遺漏變量的時候會出現(xiàn)這種情況。所以,當(dāng)模型外存在遺漏變量的時候,回歸系數(shù)的最小平方估計(jì)量有偏,也就是說,在這種情形下我們所得到的計(jì)算結(jié)果并不是對總體的正確的估計(jì)。這就是計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中的遺漏變量效應(yīng)。可見,用于估計(jì)因果效應(yīng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型應(yīng)當(dāng)滿足的要求是:模型外不存在遺漏變量,或者說,應(yīng)當(dāng)仔細(xì)地找出遺漏變量,盡可能把它們都納入模型。對于一些無法觀測的遺漏變量,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)開發(fā)了處理它們的若干種辦法,例如,面板數(shù)據(jù)回歸,工具變量回歸,設(shè)計(jì)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)等[6]160-161,177-192,216-276。有的研究人員在建立了他所需要的模型以后,不考慮模型中隨機(jī)項(xiàng)的期望值是否真的是0,而武斷地聲明,假定自己模型隨機(jī)項(xiàng)的期望值為0。其實(shí),在回歸分析的教科書中闡述關(guān)于模型隨機(jī)項(xiàng)的假定的時候,所用的“假定”一詞的含義,并不是這個詞通常的詞義。“假定”一詞通常的詞義是指:我們對事物的狀態(tài)所做的某種與真實(shí)狀態(tài)相悖的設(shè)定,或者是當(dāng)我們并不了解真實(shí)狀態(tài)時所做的某種猜想性的設(shè)定。然而,回歸分析中的“假定”一詞卻不是這個意思。回歸分析教科書中所提出的模型隨機(jī)項(xiàng)的假定,指的是正確地運(yùn)行回歸分析必須要滿足的前提條件。

直接用數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型來充當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的風(fēng)險在于:數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型要對現(xiàn)實(shí)世界加以簡化,也就是,要把因變量的某些重要的影響因素假定為不變,當(dāng)我們把該模型充作計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型使用時,只要這些被假定為不變的因素與模型內(nèi)的自變量相關(guān),它們就成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的遺漏變量,從而導(dǎo)致遺漏變量效應(yīng)。

由遺漏變量效應(yīng)所導(dǎo)致的回歸系數(shù)最小平方估計(jì)量的偏差大小由隨機(jī)項(xiàng)與模型中自變量之間相關(guān)程度的大小決定,相關(guān)程度越大,偏差就越大。因此,測算因果效應(yīng)時,至少應(yīng)當(dāng)把與模型中自變量相關(guān)程度大的遺漏變量仔細(xì)地找出來,將其納入模型。本論文由整理提供回到索洛-斯旺模型的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)上來:其實(shí),它只不過是一個初級的生產(chǎn)函數(shù)模型,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中十分明確地指出了這個模型對于解釋經(jīng)濟(jì)增長的缺陷,因此在其后才陸續(xù)提出了若干進(jìn)一步的模型。后來提出的模型與現(xiàn)實(shí)世界的距離較之索洛-斯旺模型要小。我們?yōu)槭裁床皇褂门c現(xiàn)實(shí)世界距離小些的較為復(fù)雜的模型而偏要用假定性明顯過大的索洛-斯旺模型呢?

有的研究人員用計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析手段對數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行“實(shí)證”。他們用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)了模型的回歸系數(shù),然后進(jìn)行一系列的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),如果統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)被通過了,就認(rèn)為數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型獲得了證實(shí)。事實(shí)上,當(dāng)我們用計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法去“實(shí)證”一個數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型時,只能證偽,不能證實(shí)。為什么呢?無疑,所有的數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型都是因果關(guān)系模型,那末,所謂實(shí)證,首先就是要證明因果關(guān)系成立。計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析有能力完成“X與Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立還是統(tǒng)計(jì)相依”的檢驗(yàn),然而,如黃芳銘指出的,要想把“X與Y統(tǒng)計(jì)相依”的論斷引申為“X與Y具有因果關(guān)系”,必須要具備的前提條件是:“無關(guān)的影響變量必須被排除”[7]。

對于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來說,這個要求意味著模型外沒有遺漏變量(或模型隨機(jī)項(xiàng)的期望值為0)。但是,計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究中所使用的樣本數(shù)據(jù)都是調(diào)查數(shù)據(jù),在這種情況下,一個計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是否滿足“模型外沒有遺漏變量(或模型隨機(jī)項(xiàng)的期望值為0)”的要求,在統(tǒng)計(jì)上是無法獲得證明的。因此,當(dāng)一個統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)拒絕了“總體回歸系數(shù)等于0”的零假設(shè)的時候,充其量只能說明該自變量與因變量統(tǒng)計(jì)相依,而始終無法說明二者之間具有因果關(guān)系。假若得到相反的檢驗(yàn)結(jié)論———“總體回歸系數(shù)等于0”的零假設(shè)無法被拒絕,那倒是可以說明把該自變量做為因變量的一個原因放入數(shù)量經(jīng)濟(jì)模型是錯誤的。

四、基于預(yù)測任務(wù)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型

當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的任務(wù)是用于預(yù)測的時候,我們所關(guān)心的不是估計(jì)的回歸系數(shù)有沒有因果解釋能力,是不是無偏;此時我們所關(guān)心的是模型的預(yù)測能力,即:模型是不是能夠生成可靠的預(yù)測值。有的時候,遺漏變量效應(yīng)使得一個模型對于測算因果效應(yīng)是無用的,但是它仍然可以用于預(yù)測[6]。怎樣從統(tǒng)計(jì)上來評價一個模型的預(yù)測能力呢?直觀地說,這可以用“預(yù)測誤差”的大小來衡量。預(yù)測誤差的大小可以用均方預(yù)測誤差來描述,它是若干期的預(yù)測值與相應(yīng)實(shí)際值的離差平方的平均值。將它與回歸分析中熟知的均方殘差對照,可以看出,后者也大致地提供了模型的預(yù)測誤差的信息。另一方面,還可以考察在因變量樣本數(shù)據(jù)的總變差平方和中,有多大的比例可以由回歸來解釋,這個比例越大,模型的預(yù)測能力便越強(qiáng)。顯然,它就是判定系數(shù)R2。由于R2可以換算成F統(tǒng)計(jì)量,所以,也可以用F統(tǒng)計(jì)量來評價模型的預(yù)測能力(F統(tǒng)計(jì)量的值越大,模型的預(yù)測能力越強(qiáng))。

柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是不是一個好的預(yù)測模型呢?這需要經(jīng)過自變量選擇的操作才能最后作結(jié)論。我們來考察一下兩種常用的選擇回歸自變量的方法[8]:回歸選元法和逐步回歸法。回歸選元的做法是:列出所有可能的自變量,再列出由它們所組成的所有的一元回歸模型,所有的二元回歸模型,等等,然后構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來設(shè)法找出其中使預(yù)測誤差“接近最小”的模型(進(jìn)一步縮小預(yù)測誤差能夠縮小的量與相應(yīng)地需要增加模型的自變量所帶來的難度相權(quán)衡,不值得再增加更多的自變量)。逐步回歸的做法是:列出所有可能的自變量,再列出由它們所組成的所有的一元回歸模型(每一個模型中的自變量稱作該模型的初始自變量);計(jì)算每一個一元回歸模型的F統(tǒng)計(jì)量,把其中F值最大的那個模型的初始自變量分別加到其他的一元模型中去,形成一個個二元模型;對每一個二元模型計(jì)算針對該模型初始自變量的偏F統(tǒng)計(jì)量,把其中偏F值最大的那個模型的初始自變量分別加到其他的二元模型中去,形成一個個三元模型;如此逐步進(jìn)行下去。在這里,針對某一個自變量的偏F統(tǒng)計(jì)量的分子度量了把這個自變量加入模型后對于解釋總變差平方和做出的貢獻(xiàn)。

在逐步回歸的操作中,事先規(guī)定偏F統(tǒng)計(jì)量的一個水平,當(dāng)逐步回歸進(jìn)行到這樣一個階段時程序終止:在該階段所算出的各個回歸模型針對其初始自變量的各個偏F統(tǒng)計(jì)量中最大的那個值低于事先規(guī)定的偏F統(tǒng)計(jì)量水平,這表明,相應(yīng)的那個自變量進(jìn)入模型被認(rèn)為對于提高預(yù)測能力是沒有充分幫助的,所以逐步回歸所選擇的模型到上一個階段為止,無必要繼續(xù)為模型增加自變量了。通過考察回歸選元法和逐步回歸法我們看到,選擇回歸自變量時,不管用哪一種方法,都必須首先要把所有可能的自變量全部列出來,然后才談得到設(shè)法選擇預(yù)測能力優(yōu)良而自變量又盡可能少的模型。可見,那種直接搬用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的某一個經(jīng)濟(jì)增長函數(shù)用來充當(dāng)預(yù)測經(jīng)濟(jì)增長的回歸模型的做法是不妥當(dāng)?shù)摹Ｔ诠烙?jì)因果效應(yīng)和預(yù)測這兩種不同的任務(wù)下,對計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型有不同的要求。上文指出了二者的一個重要差別:在估計(jì)因果效應(yīng)時要強(qiáng)調(diào)回歸系數(shù)的因果解釋能力,所以特別關(guān)注并且要設(shè)法解決遺漏變量所導(dǎo)致的回歸系數(shù)估計(jì)量的偏差;在預(yù)測時所關(guān)心的是模型的預(yù)測能力,在不影響模型預(yù)測能力的前提下,遺漏變量、回歸系數(shù)估計(jì)量有偏,都是允許的。下面補(bǔ)充指出二者的另一個重要差別:在估計(jì)因果效應(yīng)時強(qiáng)調(diào),模型中的自變量必須真正是引起因變量變化的原因,也就是說,模型必須真正是因果關(guān)系模型;在預(yù)測時則允許模型中的自變量并不一定是因變量的原因,它只要是和因變量具有間接的因果關(guān)系因而表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)相依就可以了(于是,在進(jìn)行自變量篩選起步時所列出的自變量,除了直接因果關(guān)系變量以外,還會有間接因果關(guān)系變量)。

五、簡短的結(jié)論

數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型為計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析提供了理論框架,但是,不能直接簡單地把數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型當(dāng)作計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型使用;由于計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析所使用的樣本數(shù)據(jù)都是調(diào)查數(shù)據(jù),在這種條件下,計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析無法論證變量之間的因果關(guān)系,它所能夠做的事情只能是,針對經(jīng)濟(jì)學(xué)中所論證的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的因果關(guān)系來測算具體時間、地點(diǎn)、條件下具體的因果關(guān)系效應(yīng);本論文由整理提供當(dāng)構(gòu)造一個旨在測算因果關(guān)系效應(yīng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時,應(yīng)當(dāng)力求做到模型外沒有遺漏變量,因?yàn)?遺漏變量的存在會導(dǎo)致因果關(guān)系效應(yīng)的測算發(fā)生錯誤;計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析還具有預(yù)測的功能,當(dāng)構(gòu)造一個旨在完成預(yù)測任務(wù)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時,所關(guān)注的是模型的預(yù)測功能,此時,允許模型外存在遺漏變量,也允許模型中的自變量只是和因變量具有間接的因果關(guān)系而不具有直接的因果關(guān)系;構(gòu)建預(yù)測模型時應(yīng)首先把所有可能充當(dāng)預(yù)測變量的自變量全部列出來,然后設(shè)法篩選出具有優(yōu)良預(yù)測功能而所使用的預(yù)測變量又盡可能簡約的模型。

參考文獻(xiàn):

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篇（5）

二、數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)

教師在講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程時，面臨著非常重要的任務(wù)。如何讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)增強(qiáng)對本課程的理解，并將知識合理地運(yùn)用到實(shí)踐中，是擺在教師面前的問題。教師要將數(shù)學(xué)建模思想合理地融入到課堂。

（一）課堂教學(xué)側(cè)重實(shí)例

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是運(yùn)用性很強(qiáng)的一門課程。因此，將教學(xué)內(nèi)容與實(shí)例想結(jié)合，可以有效提高學(xué)生的理解力，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的印象。例如，在講授概率加法公式的時候，可以用“三個臭皮匠問題”作為為實(shí)例。“三個臭皮匠賽過諸葛亮”是對多人有效合作的一種贊美，我們可以把這個問題引入到數(shù)學(xué)中來，從概率的計(jì)算方面驗(yàn)證它的正確性。首先可以建立起數(shù)學(xué)模型，三個臭皮匠能否賽過諸葛亮，主要是看他們解決實(shí)際問題的能力是否有差距，歸結(jié)為概率就是解決問題的概率大小比較。不妨用C表示諸葛亮解決某問題，Ai表示第i個臭皮匠單獨(dú)解決某問題，其中i=1,2,3，每個臭皮匠解決好某問題的概率是P（A1）=0.45，P（A2）=0.55，P（A3）=0.60，而諸葛亮成功解決問題的概率是P（C）=0.90。那么事件B順利解決對于諸葛亮的概率是P（B）=P（C）=0.90，而三個臭皮匠解決好B問題的概率可以表示成P（B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）。解決此問題的過程中，學(xué)生既感受到了數(shù)學(xué)建模的樂趣，也在輕松的氛圍中學(xué)習(xí)到了概率知識。這種貼近實(shí)際生活的教學(xué)方式，不但可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率的積極性，也可以增強(qiáng)教師從事素質(zhì)教育的理念。

（二）開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般要結(jié)合數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)軟件為平臺，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境進(jìn)行教學(xué)。發(fā)展到今天，計(jì)算機(jī)軟件已經(jīng)很成熟，一般的統(tǒng)計(jì)計(jì)算都可以由計(jì)算機(jī)軟件來完成。SPSS、SAS、MABTE等軟件已經(jīng)廣泛得到了運(yùn)用，較大數(shù)據(jù)量的案例，如統(tǒng)計(jì)推斷、數(shù)據(jù)模擬技術(shù)等方面的問題，都可以用這些軟件來處理。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不但可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，還能增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，促使他們主動學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識。學(xué)生通過軟件的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，增強(qiáng)了動手能力，解決實(shí)際問題的能力也會有所增強(qiáng)。

（三）使用新的教學(xué)方法

眾所周知，傳統(tǒng)的填鴨式的教學(xué)方法很難取得好的教學(xué)效果，已經(jīng)不適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)的要求。實(shí)踐證明，結(jié)合案例的教學(xué)方法可以由淺入深，從直觀到抽象，具有一定的啟發(fā)性。學(xué)生可以從中變被動為主動，加深對知識的理解。這種教學(xué)方法還能讓學(xué)生的眼光從課堂上轉(zhuǎn)移到日常生活，進(jìn)行發(fā)散思維，學(xué)生會進(jìn)一步發(fā)揮主觀能動性，思考如何將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，如何結(jié)合概率論與統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題，等等。在這種情況下，學(xué)生的興趣提高了，教學(xué)效率自然也會得到提高。

（四）建立合理的學(xué)習(xí)方式

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)不能一味地照本宣科。數(shù)學(xué)建模并無固定模式，它需要的更多是技能的綜合。教師在實(shí)際教學(xué)過程中，不應(yīng)該以課本為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生自主解決實(shí)際問題，讓學(xué)生去查閱相關(guān)背景資料，以提高其自學(xué)能力。教師可以適當(dāng)補(bǔ)充一些前言的數(shù)學(xué)知識，讓一些新觀念和新方法開闊學(xué)生的視野。在處理習(xí)題問題上，教師要適當(dāng)引入一些不充分的問題，而不是僅僅局限于條件比較充分的問題上，要讓學(xué)生自己動手分析數(shù)據(jù)、建立模型。教師應(yīng)該經(jīng)常開展專題討論，引導(dǎo)學(xué)生勇于提出自己的見解，加強(qiáng)學(xué)生間的交流與互助。例如，在講授二項(xiàng)分布知識時，為了加深學(xué)生對知識的領(lǐng)悟，教師可以用“盥洗室問題”為實(shí)例來講授二項(xiàng)式的實(shí)際運(yùn)用。問題：宿舍樓內(nèi)的盥洗室處于用水高峰時，經(jīng)常要排隊(duì)等待，學(xué)生對此意見很大。學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)決定把它當(dāng)作一道數(shù)學(xué)題來解答，希望學(xué)生能從理論上給出合理的解決方法。分析：首先收集基本的資料，盥洗室有50個水龍頭，宿舍樓內(nèi)有500個學(xué)生，用水高峰期為2小時（120分鐘），平均每個學(xué)生用水時間為12分鐘，等待時間一般不超過12分鐘，但經(jīng)常等待會讓學(xué)生失去耐心。學(xué)生希望100次用水中等待的次數(shù)不超過10次。解決方法：設(shè)X為某時刻用水的學(xué)生人數(shù)，先找到X服從什么分布。500個學(xué)生中，每個學(xué)生的用水概率是0.1，現(xiàn)在X人用水，與獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列類似，比較適合用二項(xiàng)分布，因此設(shè)X服從二項(xiàng)分布，n=500，p=0.1，用概率公式表示為P（X=K）=CKnPK（1-P）n-K。接下來計(jì)算概率，主要關(guān)注不需要等待的概率（即X<50），P（X<50）=∑49K=0CKnPK（1-P）n-K，這個二項(xiàng)式分布是一個初步的模型，可按二項(xiàng)分布來計(jì)算。由于n較大（n=500），直接用二項(xiàng)分布計(jì)算過于復(fù)雜，我們可以利用兩種簡化近似公式來計(jì)算（泊松分布和正態(tài)分布）。經(jīng)過查正態(tài)分布表，我們可以算出x=58，這說明水龍頭的個數(shù)在59～62這個范圍時，學(xué)生等待的時間概率比較合理。

三、課后練習(xí)反饋數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)課程離不開課后練習(xí)，課后作業(yè)是其重要的組成部分，對于鞏固課堂知識、進(jìn)一步理解所學(xué)理論具有重要作用。因此，教師要把握好課后練習(xí)環(huán)節(jié)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課涉及到很多隨機(jī)試驗(yàn)，一般的統(tǒng)計(jì)規(guī)律都需要在隨機(jī)試驗(yàn)中找到結(jié)果。例如通過投擲骰子或硬幣可以理解頻率與概率的關(guān)系，通過雙色球的抽樣可以理解隨機(jī)事件中的相互獨(dú)立性，統(tǒng)計(jì)一本書上的錯別字可以判斷其是否符合泊松分布等。通過親自做實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們不但能探求到隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，還能進(jìn)一步鞏固所學(xué)的統(tǒng)計(jì)理論。除了一般的練習(xí)題以外，教師可以適當(dāng)增加一些與日常生活密切相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)題目，這些題目往往趣味性較強(qiáng)。例如，在知道彩票的抽獎方法和中獎規(guī)則后，可以明確三個問題：（1）摸彩票的次序與中獎概率是否相關(guān)？（2）假如彩票的總量是100萬張，則一、二等獎的中獎概率是多少？（3）一個人打算買彩票，在何種情況下中獎概率大一些？這種課后練習(xí)對于學(xué)生趣味的提高很有幫助。

四、考核方式折射數(shù)學(xué)建模思想

作為一門課程，肯定需要考核，這是教學(xué)過程中的一個必然環(huán)節(jié)。課程考核是評估教學(xué)質(zhì)量的重要方式。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程傳統(tǒng)的考試一般采用期末閉卷考試，教師通常按固定的內(nèi)容出題。這種情況下，學(xué)生為了應(yīng)付考試，會把很多精力都用在背誦公式和概念上面，從而會忽視知識的實(shí)際運(yùn)用。學(xué)生的綜合成績雖然也包括平時成績，但期末閉卷考試往往占據(jù)很大比例。就是是平時成績，其主要還是考核學(xué)生課后的習(xí)題完成情況。因此，考核實(shí)際就成了習(xí)題考試。對于學(xué)生在課后的實(shí)驗(yàn)，考核中往往很少涉及。這會導(dǎo)致學(xué)生逐漸脫離日常實(shí)際，更注重課堂考勤和作業(yè)。要改變這種情況，有必要改變傳統(tǒng)的考核方式。靈活多變的考核方式才更有利于調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)他們各方面的潛能。考核可以適當(dāng)增加平時成績所占的比重，比如，平時成績可以占總成績的30%以上。平時成績主要采用開放性考核，由課后實(shí)驗(yàn)或課外實(shí)踐組成。教師可以提出一些實(shí)踐問題，讓學(xué)生自主去解決。學(xué)生可以單獨(dú)完成任務(wù)，也可以組隊(duì)進(jìn)行，最后提交一份研究報(bào)告，教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行評定。

篇（6）

關(guān)鍵詞：認(rèn)知心理學(xué)；思想；數(shù)學(xué)建模；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；學(xué)習(xí)觀

認(rèn)知心理學(xué)（CognitivePsychology）興起于20世紀(jì)60年代，是以信息加工理論為核心，研究人的心智活動為機(jī)制的心理學(xué)，又被稱為信息加工心理學(xué)。它是認(rèn)知科學(xué)和心理學(xué)的一個重要分支，它對一切認(rèn)知或認(rèn)知過程進(jìn)行研究，包括感知覺、注意、記憶、思維和言語等[1]。當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)主要用來探究新知識的識記、保持、再認(rèn)或再現(xiàn)的信息加工過程中關(guān)于學(xué)習(xí)的認(rèn)識觀。而這一認(rèn)識觀在學(xué)習(xí)中體現(xiàn)較突出的即為數(shù)學(xué)建模，它是通過信息加工理論對現(xiàn)實(shí)問題運(yùn)用數(shù)學(xué)思想加以簡化和假設(shè)而得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。本文通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型將“認(rèn)知心理學(xué)”的思想融入現(xiàn)實(shí)問題的處理，結(jié)合教學(xué)案例，并提出建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的原則和方法，進(jìn)一步證實(shí)認(rèn)知心理學(xué)思想在數(shù)學(xué)建模中的重要性。

一、案例分析

2011年微軟公司在招聘畢業(yè)大學(xué)生時，給面試人員出了這樣一道題：假如有800個形狀、大小相同的球，其中有一個球比其他球重，給你一個天平，請問你可以至少用幾次就可以保證找出這個較重的球？面試者中不乏名牌大學(xué)的本科、碩士甚至博士，可竟無一人能在有限的時間內(nèi)回答上來。其實(shí)，后來他們知道這只是一道小學(xué)六年級“找次品”題目的變形。

（一）問題轉(zhuǎn)化，認(rèn)知策略

我們知道，要從800個球中找到較重的一個球這一問題如果直接運(yùn)用推理思想應(yīng)該會很困難，如果我們運(yùn)用“使復(fù)雜問題簡單化”這一認(rèn)知策略，問題就會變得具體可行。于是，提出如下分解問題。問題1.對3個球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作[2]。問題2.對5個球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題3.對9個球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題4.對4、6、7、8個球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。問題5.如何得到最佳分配方法。

（二）模型分析，優(yōu)化策略

通過問題1和問題2，我們知道從3個球和5個球中找次品，最少并且保證找到次品的分配方法是將球分成3份。但這一結(jié)論只是我們對實(shí)驗(yàn)操作的感知策略。為了尋找策略，我們設(shè)計(jì)了問題3，對于9個球的最佳分配方法也是分為3份。因此我們得到結(jié)論：在“找次品”過程中，結(jié)合天平每次只能比較2份這一特點(diǎn)，重球只可能在天平一端或者第3份中，同時，為了保證最少找到，9個球均分3份是最好的方法。能被3除盡的球我們得到均分這一優(yōu)化策略，對于不能均分的球怎么分配？于是我們設(shè)計(jì)了問題4，通過問題4我們得到結(jié)論：找次品時，盡量均分為3份，若不能均分要求每份盡量一樣，可以多1個或少1個。通過問題解決，我們建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：2～3個球，1次；3+1～32個球，2次；32+1～33個球，3次；……

（三）模型轉(zhuǎn)化，歸納策略

通過將新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)運(yùn)用到生活實(shí)踐，我們知道800在36～37之間，所以我們得到800個球若要保證最少分配次數(shù)是7次。在認(rèn)知心理學(xué)中，信息的具體表征和加工過程即為編碼。編碼并不被人們所覺察，它往往以“刺激”的形式表現(xiàn)為知覺以及思想。在信息加工過程中，固有的知識經(jīng)驗(yàn)、嚴(yán)密的邏輯思維能力以及抽象概況能力將為數(shù)學(xué)建模中能力的提高產(chǎn)生重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模中認(rèn)知心理學(xué)思想融入

知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)是認(rèn)知心理學(xué)的兩個基本概念[3]。數(shù)學(xué)是人類在認(rèn)識社會實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)成果，它起源于現(xiàn)實(shí)生活，以數(shù)字化的形式呈現(xiàn)并用來解決現(xiàn)實(shí)問題。它要求人們具有嚴(yán)密的邏輯思維以及空間思維能力，并通過感知、記憶、理解數(shù)形關(guān)系的過程中形成一種認(rèn)知模型或者思維模式。這種認(rèn)知模型通常以“圖式”的形式存在于客體的頭腦，并且可以根據(jù)需要隨時提取支配。

（一）我國數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將模型思想這一核心概念的引入成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方向。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模方面的文章最早出自1982年張景中教授論文“洗衣服的數(shù)學(xué)”以及“壘磚問題”。雖然數(shù)學(xué)建模思想遍布國內(nèi)外，但是真正將數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)，從生活事件中抽取數(shù)學(xué)素材卻很難。數(shù)學(xué)建模思想注重知識應(yīng)用，通過提取已有“圖式”加工信息形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式內(nèi)化形成客體自身的“事物結(jié)構(gòu)”，其不僅具有解釋、判斷、預(yù)見功能，而且能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識[4]。

（二）結(jié)合認(rèn)知心理學(xué)思想，如何形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

知識結(jié)構(gòu)與智力活動相結(jié)合，形成有效認(rèn)知結(jié)構(gòu)。我們知道，數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是前人在總結(jié)的基礎(chǔ)上，通過教學(xué)大綱、教材的形式呈現(xiàn)，并通過語言、數(shù)字、符號等形式詳細(xì)記述的。學(xué)生在學(xué)習(xí)時，通過將教材中的知識簡約化為特定的語言文字符號的過程叫作客體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這一過程中，智力活動起了重要作用。復(fù)雜的知識結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)心體驗(yàn)以及有限的信息加工容量讓我們不得不針對內(nèi)外部的有效信息進(jìn)行篩選。這一過程中，“注意”起到重要作用，我們在進(jìn)行信息加工時，只有將知識結(jié)構(gòu)與智力活動相結(jié)合，增加“有意注意”和“有意后注意”，才能夠形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。根據(jù)不同構(gòu)造方式，形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)遵循循序漸進(jìn)規(guī)律，并具有嚴(yán)密的邏輯性和準(zhǔn)確性，它是形成不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是通過積累和加工而來，即使數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)一樣，不同的人仍然會形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這一特點(diǎn)取決于客體的智力水平、學(xué)習(xí)能力。因此若要形成有利認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須遵循知識發(fā)展一般規(guī)律，注重知識的連貫性和順序性，考慮知識的積累，注重邏輯思維能力的提高。

三、認(rèn)知心理學(xué)思想下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者已知的、所碰到的信息和他們在學(xué)習(xí)時所做的之間相互作用的結(jié)果[5]。如何將數(shù)學(xué)知識變?yōu)閭€體的知識，從認(rèn)知心理學(xué)角度分析，即如何將數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收為個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即建立良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，這一課題成為許多研究者關(guān)注的對象。那么怎樣學(xué)習(xí)才能夠提高解決數(shù)學(xué)問題的能力？或者怎樣才能構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型，接下來我們將根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)知識，提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀的構(gòu)建原則和方法。

（一）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息

加工過程學(xué)習(xí)是新舊知識相互作用的結(jié)果，是人們在信息加工過程中，通過提取已有“圖式”將新輸入的信息與頭腦中已存儲的信息進(jìn)行有效聯(lián)系而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程[6]。可是，當(dāng)客體對于已有“圖式”不知如何使用，或者當(dāng)遇到可以利用“圖式”去解決的問題時不知道去提取相應(yīng)的知識，學(xué)習(xí)過程便變得僵化、不知變通。譬如，案例中，即使大部分學(xué)生都學(xué)習(xí)了“找次品”這部分內(nèi)容，卻只能用來解決比較明確的教材性問題，對于實(shí)際生活問題卻很難解決。學(xué)習(xí)應(yīng)該是“雙向產(chǎn)生式”的信息加工過程，數(shù)學(xué)的靈活性在這方面得到了較好的體現(xiàn)。學(xué)習(xí)時應(yīng)遵循有效記憶策略，將所學(xué)知識與該知識有聯(lián)系的其他知識結(jié)合記憶，形成“流動”的知識結(jié)構(gòu)。例如在案例中，求800個球中較重球的最少次數(shù)，可以先從簡單問題出發(fā)，對3個球和5個球進(jìn)行分析，猜測并驗(yàn)證出一般分配方法。這一過程需要有效提取已有知識經(jīng)驗(yàn)，通過擬合構(gòu)造，不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，而且能夠增強(qiáng)知識認(rèn)識水平和思維能力。

（二）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有層次化、條理化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

如果頭腦中僅有“雙向產(chǎn)生式”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，當(dāng)遇到問題時，很難快速找到解決問題的有效條件。頭腦中數(shù)以萬計(jì)“知識組塊”必須形成一個系統(tǒng)，一個可以大大提高檢索、提取效率的層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。如案例，在尋找最佳分配方案時，我們可以把8個球中找次品的所有分配情況都羅列出來。這樣做，打破了“定勢”的限制，而以最少稱量次數(shù)為線索來重新構(gòu)造知識，有助于提高學(xué)生發(fā)散思維水平，使知識結(jié)構(gòu)更加具有層次化、條理化。在學(xué)習(xí)過程中，隨著頭腦中信息量的增多，層次結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)也會越來越復(fù)雜。因此，必須加強(qiáng)記憶的有效保持，鞏固抽象知識與具體知識之間的聯(lián)系，能夠使思維在抽象和現(xiàn)實(shí)之間靈活轉(zhuǎn)化。而這一過程的優(yōu)化策略是有效練習(xí)。

（三）良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀應(yīng)該具有有效的思維策略

要想形成有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，提高解決實(shí)際問題的能力，頭腦中還必須要形成有層次的思維策略，以便大腦在學(xué)習(xí)和信息加工過程中，策略性思維能夠有效加以引導(dǎo)和把控。通過調(diào)節(jié)高層策略知識與底層描述性及程序性知識之間的轉(zhuǎn)換，不斷反思頭腦思維策略是否恰當(dāng)進(jìn)而做出調(diào)整和優(yōu)化。譬如，在案例中，思維經(jīng)過轉(zhuǎn)化策略、尋找策略、優(yōu)化策略、歸納總結(jié)四個過程，由一般特殊一般問題的求解也是思維由高層向底層再向高層轉(zhuǎn)換的層次性的體現(xiàn)。

篇（7）

二、平面設(shè)計(jì)中水墨藝術(shù)的創(chuàng)新

根據(jù)上文針對當(dāng)前現(xiàn)代化的平面設(shè)計(jì)過程之中水墨藝術(shù)的應(yīng)用重點(diǎn)和難點(diǎn)等進(jìn)行系統(tǒng)性的分析，可以明確設(shè)計(jì)應(yīng)用操作過程之中需要掌握的原則。下文將針對平面設(shè)計(jì)中水墨藝術(shù)的應(yīng)用創(chuàng)新方案等進(jìn)行細(xì)致的研究，旨在以此為基礎(chǔ)不斷的增強(qiáng)工作的水準(zhǔn)，促進(jìn)整體效益的提升。首先是表現(xiàn)形式上的創(chuàng)新，將中國的傳統(tǒng)藝術(shù)元素和情感相互連接在一起，可以使得藝術(shù)設(shè)計(jì)的效果得到升華。而在平面設(shè)計(jì)之中，相關(guān)元素的使用還可以使得觀賞者引發(fā)一種內(nèi)心上的共鳴，產(chǎn)生情感上的共鳴，這樣更加有益于進(jìn)行廣告宣傳。在水墨藝術(shù)元素的畫面設(shè)計(jì)之中，除了水墨的元素之外，還應(yīng)當(dāng)搭配線條、文字以及圖案等的使用，一般的情況之下要想使得畫面的設(shè)計(jì)更加生動并且傳神，就應(yīng)當(dāng)選擇特殊的字體，諸如楷書、宋體等等，將傳統(tǒng)古代的書法字體和現(xiàn)代的設(shè)計(jì)方式緊密的融合在一起，這樣在畫面處理的過程之中就可以得到一種特殊額效果。在水墨藝術(shù)元素應(yīng)用的過程之中還應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格額遵循棄繁從簡的原則，以樸質(zhì)并且具有強(qiáng)大表現(xiàn)力、強(qiáng)大感染力的藝術(shù)元素，使得藝術(shù)設(shè)計(jì)的根源得到集中的展現(xiàn)，這樣的設(shè)計(jì)運(yùn)用方式不僅使得水墨藝術(shù)元素的使用方式得到了創(chuàng)新，同時還可以增強(qiáng)視覺效果，體現(xiàn)出民族的本質(zhì)特征。另外，還應(yīng)當(dāng)注重高雅情趣的體現(xiàn)，展現(xiàn)出獨(dú)特的水墨技藝，以更加現(xiàn)代的思想，使得傳統(tǒng)的藝術(shù)精神得到梳理，并且實(shí)現(xiàn)文化和形式上的超越，展現(xiàn)出水墨藝術(shù)元素豐富的李四底蘊(yùn)，進(jìn)而使得整個平面設(shè)計(jì)效果得到全面的增強(qiáng)。

篇（8）

二數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)學(xué)生就業(yè)能力的作用

筆者在指導(dǎo)學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的過程中，體會到數(shù)學(xué)建模活動對高職院校的學(xué)生的綜合素質(zhì)和就業(yè)能力的提升起著十分重要的作用，有利于高職教育人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

1提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力

數(shù)學(xué)建模競賽賽題所涉及的知識面較廣，甚至有許多是學(xué)生未曾涉及過的領(lǐng)域（如，2012年賽題中的C題：“腦卒中發(fā)病環(huán)境因素分析及干預(yù)”與醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有關(guān)），學(xué)生僅憑已有的知識是難以甚至不能完成競賽，這就要求學(xué)生不僅需要復(fù)習(xí)好已經(jīng)學(xué)過的知識，還必須積極、主動去學(xué)習(xí)新知識，擴(kuò)大知識面，如，數(shù)學(xué)軟件的使用、論文寫作方法、不包括在高職人才培養(yǎng)方案中的一些數(shù)學(xué)內(nèi)容（如數(shù)值計(jì)算等）、查找相關(guān)文獻(xiàn)資料并從大量文獻(xiàn)中吸取所需知識的技巧等知識，學(xué)生都須通過自主學(xué)習(xí)的途徑來掌握。這個過程有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升。

2提升學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力

數(shù)學(xué)建模是一個將錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。在建模過程中，就是要針對生產(chǎn)或生活中的實(shí)際問題，通過觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，結(jié)合數(shù)學(xué)及其他專業(yè)知識的理論和方法去分析、建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。這個過程就是運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和其他專業(yè)知識的過程。數(shù)學(xué)建模競賽題涉及的數(shù)據(jù)量往往大且復(fù)雜，求解、運(yùn)算過程十分繁瑣，手工計(jì)算很難甚至無法得到結(jié)果，需要使用計(jì)算機(jī)來輔助解決問題，例如，常使用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行模型初建、模型合理性分析、模型改進(jìn)等；使用SPSS等數(shù)理統(tǒng)計(jì)類軟件，完成數(shù)據(jù)處理、圖形變換和問題求解等工作，這是個運(yùn)用計(jì)算機(jī)知識的過程。可見，數(shù)學(xué)建模能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)及其他專業(yè)知識、計(jì)算機(jī)知識等解決實(shí)際問題的能力，有利于拓寬學(xué)生的就業(yè)技能。

3提升學(xué)生分析問題和創(chuàng)造性解決問題的能力

培養(yǎng)創(chuàng)新能力數(shù)學(xué)建模賽題來自于實(shí)際問題之中，有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，而對競賽選手完成的答卷（論文）的評價一般沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，評價時主要是看對問題所做假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)論的正確性和文字表述的清晰程度，評審者更青睞有獨(dú)特創(chuàng)意的論文。這就要求參賽學(xué)生充分發(fā)揮想像力、創(chuàng)造力，在通過分析、討論，迅速洞察問題的實(shí)質(zhì)和特征之后，做出合理的假設(shè)，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和其他相關(guān)知識，創(chuàng)造性地確定或建立數(shù)學(xué)模型。可見，數(shù)學(xué)建模過程是個提升學(xué)生的分析問題能力，創(chuàng)造性解決問題的能力的過程，具有培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的作用。

4提升學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力

數(shù)學(xué)建模競賽不同于一般競賽，單獨(dú)一個隊(duì)員是無法完成競賽的，必須通過團(tuán)隊(duì)三隊(duì)員共同的努力，才能在72個小時內(nèi)完成論文，交上答卷。這要求在競賽的過程中，需要根據(jù)隊(duì)員的特點(diǎn)，進(jìn)行分工合作，發(fā)揮各自的長處，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)的整體綜合實(shí)力。在團(tuán)隊(duì)中，由有較強(qiáng)組織協(xié)調(diào)能力的隊(duì)員來負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)三人的關(guān)系，安排工作流程和工作任務(wù)；由有較強(qiáng)寫作能力的隊(duì)員來保證寫出較流暢的論文；由有較強(qiáng)計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力的隊(duì)員來使用數(shù)學(xué)軟件，負(fù)責(zé)建立、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型；競賽過程中，隊(duì)員間必須精誠團(tuán)結(jié)、相互配合、集體攻關(guān)，才能在競賽中取勝。因此，數(shù)學(xué)建模競賽過程是個提升學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作能力、培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神的過程，這對培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會的能力起到積極的作用。

篇（9）

1.2水墨元素中蘊(yùn)含的文化特性迎合海報(bào)設(shè)計(jì)的發(fā)展需要隨著社會的進(jìn)步和科技的快速發(fā)展，東西方文化的交流和融合，使設(shè)計(jì)師突破常規(guī)，他們在注重傳達(dá)信息的同時，更加注重富有創(chuàng)意的設(shè)計(jì)和對傳統(tǒng)文化的發(fā)掘。水墨藝術(shù)中的創(chuàng)作者們從沒停止過對和諧的藝術(shù)境界的追求，這種境界是一種心靈與自然的完美結(jié)合。創(chuàng)作者們對水墨元素進(jìn)行不同的重組和搭配，濃縮成具有代表性的標(biāo)記和符號象征，來表現(xiàn)不同的設(shè)計(jì)主題。不同的是，海報(bào)是運(yùn)用帶有鮮明現(xiàn)代化特色的元素，而水墨畫是運(yùn)用傳統(tǒng)風(fēng)韻的色彩，這種表現(xiàn)更加單純直擊人心，因此現(xiàn)代設(shè)計(jì)師更加傾向于用一種中國式的符號模式來表達(dá)整體的精神世界。同時將現(xiàn)代化的符號轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的水墨元素，這對水墨畫本身也是一種突破和創(chuàng)新，這樣的設(shè)計(jì)符合現(xiàn)代人們的審美品位，又不失中華民族傳統(tǒng)文化藝術(shù)的韻味。

1.3開辟了傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念相結(jié)合的新紀(jì)元海報(bào)與水墨畫的完美結(jié)合，也為后代的設(shè)計(jì)師們提供了一個借鑒，讓他們可以在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造出更多傳統(tǒng)與現(xiàn)代結(jié)合的設(shè)計(jì)風(fēng)格，使中國千年文化藝術(shù)符號得以重生與弘揚(yáng)。在現(xiàn)代社會中，設(shè)計(jì)師拘泥于傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)技法已經(jīng)遠(yuǎn)不能滿足這個時代的發(fā)展要求，因此我們需要把傳統(tǒng)的文化和思想當(dāng)成一個巨大的資源庫，在實(shí)踐中靈活運(yùn)用和提煉其中精華的部分，創(chuàng)造出一種新的藝術(shù)設(shè)計(jì)風(fēng)格。但不能只拘泥于本土文化的現(xiàn)代化，也需要學(xué)習(xí)外來文化的現(xiàn)代化風(fēng)格，確定中國設(shè)計(jì)文化的定位，才能賦予海報(bào)設(shè)計(jì)新的內(nèi)涵與意義。

2中國水墨藝術(shù)在海報(bào)設(shè)計(jì)中的運(yùn)用分析

2.1對水墨元素直接運(yùn)用直接運(yùn)用就是不改變水墨畫的表現(xiàn)形式，把水墨藝術(shù)的元素放到整個海報(bào)中，這個“鶴云”的景德鎮(zhèn)陶瓷廣告就是直接運(yùn)用了水墨元素，把一整幅水墨畫作為整個背景，襯托出景德鎮(zhèn)茶杯的悠遠(yuǎn)古雅，茶杯融于水墨畫中，既和諧又獨(dú)特，這是水墨藝術(shù)的獨(dú)特魅力與景德鎮(zhèn)茶杯獨(dú)特的中國民窯工藝相結(jié)合后碰撞出來的完美畫面，讓人印象深刻。海報(bào)最初只是為了傳達(dá)某種信息而出現(xiàn)的一種信息傳播手段，但是由于水墨元素在海報(bào)中的運(yùn)用和變革，這無疑給單調(diào)的海報(bào)設(shè)計(jì)帶來一種新的生命活力，讓本來商業(yè)化的海報(bào)有了一絲文化底蘊(yùn)的沉淀。讓它有了一種新的表達(dá)方式，并且從這種表達(dá)方式中衍生出更多不同以往的設(shè)計(jì)風(fēng)格。

2.2古典元素在現(xiàn)代海報(bào)中的創(chuàng)新運(yùn)用對水墨藝術(shù)這一傳統(tǒng)文化的解讀使得當(dāng)代設(shè)計(jì)師從中得到許多啟發(fā)和借鑒，將現(xiàn)代的審美意識和古典的藝術(shù)手法運(yùn)用到海報(bào)中，形成了具有中華民族特色的創(chuàng)新時尚設(shè)計(jì)。把水墨藝術(shù)中的某些主要特點(diǎn)和藝術(shù)手法加以變換，如圖2泰山地產(chǎn)集團(tuán)的廣告海報(bào)，就是運(yùn)用了水墨畫中的留白（圖2為泰山地產(chǎn)海報(bào)廣告）。手法，兩條鯉魚本來應(yīng)該是在水中游動，可是它偏偏沒畫水，而是用一大片空白來表現(xiàn)，使畫面不至于顯得擁擠和繁復(fù)，符合該廣告所要表達(dá)的關(guān)于該住所“親水親自然”以及優(yōu)雅格調(diào)的主旨。水墨藝術(shù)有著一段悠久的歷史，承載著中華民族的傳統(tǒng)文化和思想，而海報(bào)則是現(xiàn)代商業(yè)文化衍生出來的一種現(xiàn)代化的廣告形式。這兩者結(jié)合的表現(xiàn)手法也給了受眾一種新穎的視覺享受。這種變幻表現(xiàn)形式的設(shè)計(jì)風(fēng)格，在運(yùn)用水墨元素的同時又在其中添加了現(xiàn)代化的設(shè)計(jì)元素，對它做了細(xì)微的處理，變得更具有新鮮活力。這種創(chuàng)新性運(yùn)用，讓具有濃厚現(xiàn)代色彩的商業(yè)海報(bào)吹起了一股返璞歸真的民族之風(fēng)。

2.3突破傳統(tǒng)海報(bào)的商業(yè)化束縛設(shè)計(jì)師順應(yīng)時代要求，把中國傳統(tǒng)的水墨藝術(shù)融入到海報(bào)設(shè)計(jì)中，既能引起消費(fèi)者心理的共鳴，又能提升中國本土文化在大眾心中的形象，而且由于水墨元素的運(yùn)用，使海報(bào)原本的商業(yè)性也不再明顯，加深了海報(bào)內(nèi)在的思想性和藝術(shù)性。對水墨藝術(shù)元素這一千年文化符號的重新解讀，使得當(dāng)代設(shè)計(jì)師從中得到許多有益的啟發(fā)和借鑒，并對其古為今用、推陳出新、將現(xiàn)代審美意識完美地融入到當(dāng)代海報(bào)設(shè)計(jì)中，形成一個具有本土文化特色的時尚創(chuàng)新設(shè)計(jì)。2010年意爾康春夏品牌會的海報(bào)，隨意的水墨線條，勾勒出運(yùn)動人物，表現(xiàn)出運(yùn)動的力量和樂趣，表現(xiàn)出中國水墨畫形神兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，或深或淺的墨色中，可以感受到中國水墨藝術(shù)的自然、和諧、簡約。讓原本商業(yè)化的海報(bào)變得具有藝術(shù)色彩和思考價值，水墨畫帶給海報(bào)的不僅僅是它古典傳統(tǒng)的藝術(shù)特色，還有它意蘊(yùn)深遠(yuǎn)的思想內(nèi)涵，讓人們在感受到海報(bào)畫面美好的同時也增加了對海報(bào)內(nèi)涵的思索，這也是一種變相淡化商業(yè)氣息的手段，更易被大眾所接受。

篇（10）

梭梭是防風(fēng)固沙、改善沙漠戈壁環(huán)境的優(yōu)良樹種，也是人工固沙造林的先鋒樹種，人工栽植的梭梭生長速度快，防風(fēng)固沙效果好，在荒漠地區(qū)無需灌溉，能夠自然生長成林。現(xiàn)將梭梭荒漠造林技術(shù)介紹如下。

1育苗

1.1選擇苗圃地

培育梭梭可建臨時苗圃，每年更換苗圃地；也可建固定苗圃，但要設(shè)置輪換區(qū)。苗圃地要選擇地勢平坦、排水良好、便于灌溉的沙質(zhì)土壤。

1.2整地

苗圃地要深翻，然后整平，耙耱，于10月5日前后灌足底水。

1.3播種

1.3.1播種時間。梭梭播種可在春季進(jìn)行，也可在秋季進(jìn)行。春播應(yīng)在早春白天地表5~10cm厚土層解凍時進(jìn)行，但在北疆地區(qū)，此時積雪融化，土壤濕度大，影響播種質(zhì)量和覆土，造成出苗不勻不齊，費(fèi)工費(fèi)時。因此，在北疆地區(qū)宜采用秋播。秋季播種應(yīng)根據(jù)天氣情況，在晚秋封凍前進(jìn)行，一般在11月5日前后，播種前輕耙淺耙苗圃地，耙地深度掌握在3cm左右，不能過深。

1.3.2播種量。播種量應(yīng)根據(jù)種子純度確定，一般純度較高的情況下，播種量為37.5~45.0kg/hm2；但若是自己采種，純度不高，應(yīng)加大播種量（近幾年，新湖農(nóng)場是自己采種，播種量為60~75kg/hm2）。

1.3.3播種方法。采用開溝條播，即用開溝器人工開溝，深度3cm，把種子撒在溝內(nèi)，行距30cm，然后用掃帚順溝左右輕掃，覆土厚度0.5~1.0cm，覆土不能過厚，否則影響出苗。

1.4苗期管理

1.4.1灌水。梭梭育苗，苗期不能多灌水，否則易得立枯病，造成苗木死亡。一般情況下，頭一年灌足底水，苗木從出土到冬前休眠，整個生長期不需要灌水，能夠正常生長。

1.4.2定苗。當(dāng)苗木生長比較穩(wěn)定時，要及時間苗，留強(qiáng)去弱，播種行上1m均勻留苗20株左右，保苗60萬株/hm2左右。

1.4.3田間管理。出苗后要及時除草，結(jié)合除草進(jìn)行松土保墑，松土深度3~4cm。進(jìn)入6月，每隔10~15d噴灑粉銹寧等藥劑防治白粉病。

2苗木出圃

2.1起苗

在苗木休眠期進(jìn)行。若春季造林，起苗應(yīng)根據(jù)土壤解凍情況進(jìn)行，越早越好；若秋季造林，起苗應(yīng)根據(jù)封凍時間和造林時間確定，不能過早。起苗前，在苗木進(jìn)入休眠期后，即10月10日左右，應(yīng)當(dāng)適量灌水，保證土壤濕度，以利于起苗；否則，土壤過干，起苗困難，傷根嚴(yán)重。

2.2分級

起出的苗木應(yīng)按照苗木分級標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分級，分出I、II級苗木用于造林，III級以下苗木不能用于造林。

2.3假植

苗木分級后，應(yīng)進(jìn)行假植。假植時，挖20~30cm深的溝，將苗木斜放于溝的一邊，從溝的另一邊挖濕土掩埋根系，分層放苗，逐層埋土塌實(shí)，防止風(fēng)干。

3造林地的選擇

造林地選擇土壤含水量2%以上、土壤含鹽量小于2%、地下水位1~8m的沙地、固定或半固定沙丘、流動的沙丘及輕鹽化土壤。4造林時間

梭梭造林分春季造林和秋季造林。春季造林時間在3月底至4月初，此時土壤已經(jīng)解凍，墑情較好；秋季造林時間在秋末冬初，一般在10月底至11月初進(jìn)行。春季造林和秋季造林相比較，春季造林成活率明顯高于秋季，其原因：一是秋季造林，苗木貯存水分相對較少，冬天根系處于休眠狀態(tài)，易發(fā)生抽干現(xiàn)象，而春季造林，現(xiàn)起苗現(xiàn)造林，苗木水分散失少，加上定植后根系開始生長，可吸收水分；二是秋季常常降水少，造成30cm以上沙層墑情差，根系容易失水，而春季融雪的水分能迅速進(jìn)入沙層，形成地表下40cm以上的濕沙層，有利于苗木根系吸水，提高成活率。

5造林方法

5.1合理組織勞力

梭梭造林地點(diǎn)常常是在交通不便、人為活動較少的區(qū)域，而造林又需要大量的人力，因此，合理組織勞力是造林成功的重要環(huán)節(jié)。在勞力組織上要有明確分工，要有專人負(fù)責(zé)分片調(diào)配、造林技術(shù)和造林質(zhì)量的落實(shí)以及苗木運(yùn)輸分發(fā)。

5.2深挖定植坑

梭梭造林根據(jù)苗木根系長度和地上部分高度，要求盡量深栽。原因是沙地、沙丘表層是流沙，隨風(fēng)流動，濕沙層隨表層干沙的流動，不斷向下降低，要使根系處于濕沙層，根系生長進(jìn)度要大于濕沙層下降速度，就要保證栽植深度。挖坑時將上層干沙和下層濕沙分開堆放，定植深度不低于30cm。

5.3定植

定植時先將苗木放入定植坑內(nèi)，填入坑深1/3的濕沙，邊提苗邊塌實(shí)，保證根系伸展然后再回填濕沙踏實(shí)，直到與地面齊平，最后在苗木基部覆蓋些干沙即可。定植時，一是保證定植深度不低于30cm；二是在有條件的情況下，先把苗木放入坑內(nèi)，每株澆3~4kg清水，然后再回填。原因是新湖墾區(qū)沙地、沙丘水分表層10cm是干沙層，10~50cm是濕沙層，往下是15~20cm的干沙層，再往下又是濕沙層，澆3~4kg水可打破干沙層，保證根系下扎，能大大提高成活率；三是回填濕沙一定要踏實(shí)，否則由于挖坑時破壞了沙的緊密結(jié)構(gòu)，空隙度加大，加快了水分的蒸發(fā)速度，造成定植坑土壤失水，影響造林成活率。

5.4造林密度

梭梭造林密度應(yīng)根據(jù)降水量、地下水位、單株土壤占有量、土壤水分含量以及病害發(fā)生情況來確定。造林密度不宜過大，密度過大，成林后水分、養(yǎng)分消耗增大，易造成梭梭死亡，并且成林后郁閉度加大，易發(fā)生白粉病，影響生長，嚴(yán)重時造成植株死亡。為保證單株生長量和正常生長年限，株行距一般為1.5m×2.0m或2.0m×2.0m。

6撫育管理

6.1病鼠害防治

篇（11）

2.深化創(chuàng)新的持續(xù)性。由于追逐經(jīng)濟(jì)利益最大化的特性，企業(yè)以及企業(yè)間實(shí)施的創(chuàng)新活動較多關(guān)注短期的競爭性項(xiàng)目，難以有效和組織和實(shí)施具有戰(zhàn)略性的研發(fā)創(chuàng)新項(xiàng)目，也難以有效推進(jìn)基礎(chǔ)研究的發(fā)展。產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟形式通過高等院校和科研機(jī)構(gòu)的引入，使其關(guān)注長遠(yuǎn)性、基礎(chǔ)性的創(chuàng)新性研究成為可能，也使其能夠有效克服企業(yè)獨(dú)立研發(fā)創(chuàng)新中的“短視”現(xiàn)象。正是由于產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟能夠有效深化創(chuàng)新的持續(xù)性，該模式的有效組織和實(shí)施已經(jīng)上升到具有較強(qiáng)創(chuàng)新能力的美國、日本等國家戰(zhàn)略的層面。

3.研究假設(shè)通常，從創(chuàng)新的過程性分析，創(chuàng)新績效表現(xiàn)為創(chuàng)新的知識成果產(chǎn)出、科技成果產(chǎn)出和經(jīng)濟(jì)成果產(chǎn)出。知識成果產(chǎn)出主要表現(xiàn)為獲得的發(fā)明、實(shí)用新型、外觀設(shè)計(jì)等專利授權(quán)，科技成果產(chǎn)出主要表現(xiàn)為科研獲獎、科技論文等，經(jīng)濟(jì)成果產(chǎn)出主要表現(xiàn)為新產(chǎn)品銷售收入的實(shí)現(xiàn)等。結(jié)合上述理論分析結(jié)果，提出以下研究假設(shè)：產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟有助于提高創(chuàng)新的知識成果績效。產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟有助于提高創(chuàng)新的科技成果績效。產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟有助于提高創(chuàng)新的經(jīng)濟(jì)成果績效。

二、研究方法

1.研究變量因變量選取。為了有效考察產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟模式對創(chuàng)新績效不同類型產(chǎn)出影響的差異性，驗(yàn)證研究假設(shè)的成立與否，從知識成果、科技成果和經(jīng)濟(jì)成果三個方面遴選因變量指標(biāo)。其中知識成果指標(biāo)選取“專利授權(quán)數(shù)”、科技成果指標(biāo)選取“SCI/EI/ISTP三大檢索論文”、經(jīng)濟(jì)成果指標(biāo)選取“新產(chǎn)品銷售收入”。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論出發(fā)，資本的投入和勞動的投入是實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的重要前提，基于上述認(rèn)識并結(jié)合研究問題的具體特征，選取研究與開發(fā)經(jīng)費(fèi)投入作為資本投入的表征變量，選取研究與開發(fā)全時人員當(dāng)量作為勞動投入的表征變量。考慮到產(chǎn)學(xué)研合作創(chuàng)新的實(shí)際以及數(shù)據(jù)易獲取性，選取“高校和科研機(jī)構(gòu)籌集的資金來自企業(yè)的資金”作為產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟合作強(qiáng)度的表征變量。綜上，

2.研究樣本和數(shù)據(jù)以我國大陸省級區(qū)域?yàn)檠芯繉ο螅匆陨鲜?1個省、直轄市、自治區(qū)作為研究對象（我國地區(qū)由于數(shù)據(jù)殘缺的因素，未納入考察的范圍）。研究變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)主要來自于國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站的《中國統(tǒng)計(jì)年鑒2010》、《中國區(qū)域創(chuàng)新能力報(bào)告2010》歸分析的方法進(jìn)行定量刻畫。回歸分析的主要應(yīng)用步驟包括模型顯著性分析、模型方差分析、模型參數(shù)估計(jì)等環(huán)節(jié)。隨著SPSS、EVIEWS等統(tǒng)計(jì)分析軟件的推出和廣泛應(yīng)用，回歸分析的應(yīng)用領(lǐng)域得到了進(jìn)一步拓展。模型設(shè)計(jì)為了有效考察產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟模式對不同類型創(chuàng)新績效的影響，分別設(shè)置三個模型進(jìn)行研究。

三、完善產(chǎn)學(xué)研技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟模式的政策建議