三角函數變換規律大全11篇

緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇三角函數變換規律范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

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【中圖分類號】G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02

三角恒等變換是高考的重點之一,要求掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考對本部分內容的考點:一方面是簡單的化簡、求值,以客觀題為主,難度一般不大,有時以向量為載體出現解答題;另一方面本節內容常作為數學工具常融合三角函數,這時要先對三角函數解析式進行化簡、變形,再深入考查三角函數的圖像和性質。還需說明一點的是“幾個三角恒等式”及積化和差、和差化積公式和半角公式不要求記憶和運用,已經淡出高考范圍。本文現從江蘇和全國其他各省近幾年的高考試卷中精選出一些典型考題與大家一起研討高考中這部分內容的命題方向和考查方向,希望能起到一個拋磚引玉的效果。

1 高考命題熱點一:給值求值問題。

【真題再現1】(2011年全國卷理科第14題)已知,,則

【解析】本題考查了同角三角函數的基本關系式與二倍角的正切公式的運用。

由已知得,則,所以。

規律小結:對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數值求另外一些角的三角函數值,關鍵在于變角,使目標角變換成已知角,若角所在的象限沒有確定則應分情況討論,應注意這部分內容中公式的正用、逆用、變形利用,同時根據題目的結構特征,學會拆角、拼角等技巧,

如,等。

2 高考命題熱點二:給角求值問題。

【真題再現2】(2006年江蘇卷第14題)

【解析】本題考查了切割化弦、輔助角公式

,倍角正弦公式、降冪公式。原式

=

=

=。

規律小結:給角求值問題,一般給出的角都是非特殊角,從表面來看是很難的,但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定的關系。解題時要利用觀察得到的關系,結合三角公式轉化為特殊角并且消去非特殊角的三角函數而得到解,有時還要逆用、變用公式,同時結合輔助角公式和升冪、降冪公式等技巧。

3 高考命題熱點三:給值求角問題。

【真題再現3】(2008年江蘇卷第15題)如圖,在平面直角坐標系中,以軸為始邊做兩個銳角,,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為。(1)求的值;(2)求的值。

【解析】本題融合三角函數的定義,考查兩角和的正切公式、二倍角的正切公式。由條件得,因為,為銳角,所以=,因此

(1),

(2),所以,因,為銳角則,故=

規律小結:給值求角問題,往往通過間接求出這個角的某個三角函數值,再得出這個角的大小,選取某個三角函數值時可按照下列原則:一般已知是角的正切函數值,則選所求角的正切函數值;已知條件是正弦、余弦函數值,則選所求角的正弦、余弦函數值皆可;若所求角的范圍是,則選該角的正弦函數值較好;若所求角的范圍是,則選該角的余弦函數值較好。解決給值求角問題分三步:第一步是求該角的某個三角函數值,第二步是確定該角所在的范圍,第三步是根據角的范圍寫出所求的角。

4 高考命題熱點四:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用問題。

【真題再現4】(2011年重慶卷第16題)設,

,滿足,求函數在上的最大值和最小值。

【解析】本題考查融合了三角函數的單調性和最值的性質,考查誘導公式、二倍角的正弦公式、降冪公式、公式

,又考查綜合分析問題和解決問題的能力。由已知 ,由得,因此

;由及,解得增區間;由及,解得減區間,所以函數在上的最大值是;又因,則函數在上的最小值為。

【真題再現5】(2009年江蘇卷第15題)設向量

,,。

(1)若與垂直,求的值;

(2)求的最大值;(3)若,求證:∥。

【解析】 本題主要考查融合向量的基本概念與向量平行,考查同角三角函數的基本關系式、

二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運算和證明得基本能力、綜合分析問題和解

決問題的能力。

(1)由與垂直,,即

,。

(2)4,

,則的最大值是。

(3)由得,即,所以∥。

規律小結:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用,大多以解答題的形式出現,它一方面融合平面向量知識考查化簡、求值、證明恒等式,學生必須掌握好平面向量知識特別是數量積的運算才能順利解答問題;另一方面三角恒等變換為數學解題工具,它往往融合三角函數考查三角函數的圖像和性質(如周期性、單調性、值域、最值等),這類題突破的關鍵是能正確快速地對三角函數進行化簡,化簡的技巧和原則:①采用遇平方降冪的方法使式子的次數盡量低;②采用輔助角公式、切弦互化使式子的函數種類盡量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的種類盡量少;④采用通分等變形技巧使式子結構盡量簡單,同時還要注意角的范圍及三角函數的正負。隨著知識的深入還會更多的接觸到三角恒等變換與解三角形(正弦、余弦定理)融合的題型。

5 高考的考查特點分析和方向預測。

上面就一些高考中的三角恒等變換知識進行了深入的分析,通觀全國各省對三角恒等變換的考查,我們發現有以下特點:

(1)分文理科的地區,兩科對三角恒等變換均有考查;文理試題的題目基本相同,難度區分不大。

(2)區分度問題:三角恒等變換部分不會出非常難的題目,一般都是以容易題、中檔題出現。

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三角學起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經》中也有關于我國最早的三角測量的記載.三角函數是三角學中非常基礎的、非常重要的一部分.在高中數學中，對三角函數的學習主要是三角函數的圖像和性質.雖然在高中數學中對三角函數的學習要求并不高，但是我們學習起來也常常會有一些錯誤出現.本文將把這些三角函數中常見的錯誤歸類出來，加以詳細的探究，希望能為以后的三角函數學習提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規律而產生的錯誤.邏輯思維的規律，即邏輯規律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環論證和不等價變換這三種.

（一）循環論證

論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.

例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，a=3.

致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當a

（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現主觀臆斷

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因此，在高考中把三角函數作為函數的一種，突出考查它的圖象與性質，尤其是形如函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質．對三角公式和三角變形的考查，或與三角函數的圖象與性質相結合，或直接化簡求值．在化簡求值的問題中，不僅考查考生對相關變換公式掌握的熟練程度，更重要的是以三角變形公式為素材，重點考查相關的數學思想和方法．

重視基礎知識的教學，把握好習題的難度

近幾年的高考試題降低了對三角恒等變形的要求下，逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，將重點轉移到對三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能考查上來，加強了對三角函數圖象與性質的考查力度．這啟發我們三角函數的復習要立足課本、抓好基礎、控制難度．在復習中，應立足基本公式，尋求題目條件與結論之間差異，建立聯系，以達到消滅差異的目的．“變”為主線．三角變換包括角的變換、三角函數名稱的變換、三角函數次數的變換等，在復習中強化“變”的意識是三角復習的關鍵，但題目不宜太難，特殊技巧的問題堅決不做，2006年三角題只能作為個別現象．建議各位老師在二輪復習中將教材習題進行歸類分析比較，幫助學生進一步熟悉解決三角問題的一般規律性方法，達到舉一反三的目的.

重視三角函數問題中四類問題的訓練

（1）應用常規方法和技巧解決三角式的化簡、求值、證明問題，主要掌握三角函數的求值問題；

（2）在掌握函數y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特別是正弦函數的圖象與性質的基礎上，研究一些三角函數的性質，解題策略一般都是將所要研究的函數化歸為只含有一個、一次的三角函數形式；

（3）三角形中的三角函數問題；

（4）三角函數與其它知識交匯融合的問題．

關注2007年新考試大綱的變化

據說新考試大綱將“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意義”改為“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意義”，體現了與物理等知識的聯系；新大綱還有如下變化：將“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義”增加為“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，將“正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質”由了解變為理解．

注意對三角形中問題的復習

由于教材的變動，有關三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等內容提到了高中來學習，加上近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，所以對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，復習中要重視正弦定理、余弦定理在解三角形問題的作用，但挖掘不要太深．

重視三角函數與其它知識的結合

三角函數與其它知識，特別是與向量等內容的結合可能成為新的命題熱點，在復習中要加強訓練．

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關鍵詞：學生發展 教學策略 三角函數

課堂教學的最終目的是促進學生的發展，學生發展的內涵體現在教學目標上，可細化為“三維目標”：即知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀。作為“思維的體操”的數學，在促進學生發展方面起著舉足輕重的作用，它可以很好的培養學生能力、夯實學養根基、培養優良個性品質。在高中數學課堂教學中，如何根據不同的教學內容，選擇合適的教學策略，促進學生的發展，成為廣大教師所關心的熱點問題之一，本文以高中數學《三角函數》的教學為例，就此談點粗淺的認識和體會。

1、注重知識銜接，奠定學生發展的基礎

同一知識模塊或相關知識，在不同學段有著不同的要求.“螺旋式上升、循序漸進”便成為了新教材編寫的重要原則。因此，在課堂教學中，要充分體現這一原則，充分注重知識的銜接，遵循學生的認知規律，為學生的發展奠定堅實的基礎。

案例1初、高中三角函數各自內容怎樣？兩者是如何銜接的？

眾所周知，三角函數是中學數學的重要內容，在初中階段，學生已初步學習了三角函數知識，但只要求學生在了解的基礎上會進行一些特殊角的三角函數的計算和化簡。在高一教材中則花了三個章節系統介紹了三角函數知識，并且角的范圍擴大到任意角，教學要求明顯提高，偏重于三角函數圖象和性質的研究及應用，內容豐富、抽象、概括性很強，它不是初中內容的簡單重復，而是延伸、拓展和提高。因此，我們說三角函數是初、高中數學教學的一個重要銜接內容，正確處理好初、高中三角函數的教學銜接，深入研究彼此潛在的聯系和區別，做好新舊知識的串連和溝通，不僅可以幫助學生深化理解三角函數概念，而且更有助于提高學生的思維能力，分析問題和解決問題的能力。

案例2 高中三角函數兩章的內容如何分布？又是怎樣銜接的？

高中數學三角函數在人教版普通高中課程標準實驗教材·數學（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函數》和第三章《三角恒等變換》共兩章，知識脈絡大體為；角的推廣任意角的三角函數定義誘導公式圖象與性質圖象變換簡單應用；兩角和與差的公式倍角公式簡單三角恒等變換.一環扣一環，前面的基礎沒打好，后續知識就會難以為繼.比如：由三角函數定義，我們不難得出各個函數在每個象限的符號，而懂得這個符號規律是我們掌握誘導公式的前提。

在課堂教學中，至于這兩章如何銜接，具體處理方式不外乎兩種，第一種就按教材順序進行；第二種第一、三章連著上，然后再上第二章。筆者建議不用“創新”就按教材這種“螺旋式上升”這種方式就行了，先學了《三角函數》之后接著講《平面向量》，學生先有一種新鮮感，爾后學《三角恒等變換》，再通過三角與向量的簡單結合，進一步加深、強化、鞏固.這樣，更符合學生的認知特點。我們要深刻理解新教材編寫的良苦用心，注重同一知識不同章節的銜接，打好知識基礎并在此基礎上呈階梯狀上升。

2、注重知識生成，提升學生發展的品質

長期以來，高中學生普遍反映數學難、數學枯燥乏味，究其原因是教師在教學中過分重視結論的應用而忽視結論的生成造成的。數學教學是學生在教師的正確引導下通過動手實踐、自主探索、合作交流的方式獲得廣泛數學活動經驗的過程，并在這個過程中，逐步提升學生發展的品質，包括主動發展的意識、思維能力、創新行為與成果等。

案例3 三角函數的定義是怎樣形成的？

初中銳角的三角函數的定義用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義銳角三角函數用單位圓上的點來定義銳角三角函數利用單位圓定義任意角的三角函數。

四個過程，循序漸進，不斷深化，通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律，體現了數學知識的產生、發展過程, 從而激發學生主動探求事物“來龍去脈”的原始欲望，強化主動發展的意識。

案例4 余弦函數y=cosx的圖象如何得到？

設問1：用描點法可以作出y=cosx的圖象嗎？

設問2：用類似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的圖象嗎？

設問3：由誘導公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y=sinx和y=cosx的圖象之間的聯系嗎？

三個設問的設計，從思維的角度出發沿著先易后難的方向，從自主探究的過程出發則是先難后易，在課堂教學當中，引導學生先獨立思考，后合作交流，這樣從正反兩個方面不僅讓學生得到了y=cosx的圖象，還讓他們知道正余弦函數圖象之間的區別和聯系，圖象生成之際即為思維能力提升之時。

3、注重學科辯證思想，培養學生發展的素養

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例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數，運用函數思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角.

【變式訓練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°

考點二、三角函數的同角公式及誘導公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數值求角α的一般步驟是：①由三角函數值的符號確定角α所在的象限；②據角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.

【變式訓練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數的圖象和性質

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數的單調性是相對于某一區間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.

例3（1）求函數y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區間；

（3）求函數y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區間.（3）先將原函數式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數值域為[-23，23].

【歸納總結】 （1）求三角函數的定義域，既要注意一般函數定義域的規律，又要注意三角函數的特性，如題中出現tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數的定義域通常使用三角函數線、三角函數圖象和數軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數），其周期T=π1|ω|，單調區間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區間.（3）將原函數式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數式，切忌忽視函數的定義域.

【變式訓練3】

已知函數f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數f（x）單調遞增區間.

考點四、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數圖象變化的影響.能根據所給三角函數的圖象和性質確定其中的參數，并能由一個三角函數的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數的圖象.利用三角函數的解析式可研究三角函數的性質和圖象.會用三角函數解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x0的個數；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據題目給出的周期和對稱中心求得函數f（x）的解析式，利用函數圖象的平移和伸縮的變換規律逐步得到g（x）；（2）將等差數列問題轉化為方程在指定區間內是否有解的問題，再構造函數，利用函數的單調性確定零點的個數.

【解析】 （1）由函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數g（x）=sinx.

（2）當x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.

設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結】 探討三角函數的性質，難點在于三角函數解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓練4】

（1）函數y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在RtACH中解得AC=11cos72°，據此可得cos72°的值所在區間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.

例5已知函數f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據誘導公式和特殊角的三角函數值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結】 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數.

【變式訓練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓練答案】

1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇（6）

同角三角函數關系式、誘導公式、兩角和差的公式、二倍角公式及其綜合應用.

三角恒等變換是三角函數的基礎，是一種重要的數學能力，要立足于教材，弄清公式的來龍去脈，同時要注意對公式的正用、逆用以及變形運用的訓練，要在靈、活、巧上下功夫，以增強變換意識.

二、核心解讀

1. 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現為對三角式的化簡、求值與證明. 對所給三角式進行三角恒等變換時，除需使用三角公式外，一般還需運用代數式的運算法則或公式，如平方差公式、立方差公式等. 對三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，才能在解題時真正達到運用自如，左右逢源的境界.

2. 在運用三角公式進行三角變換時，要從函數名稱和角的差異兩方面綜合分析，再從差異的分析中決定公式的選取. 一般變換的規律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.

三、近幾年高考命題特點

1．考查題型以選擇、填空為主，分值約占5%，10%，基本屬于容易題和中檔題.

2．重點考查兩角和與差的三角公式和倍角公式等，其中對倍角公式靈活運用的考查是高考的熱點.

四、2011年高考真題再現

考點1考查同角三角函數關系

（1）應用同角之間的平方關系、倒數關系和商數關系解決三角函數的求值、化簡、證明等問題；

（2）已知一個角的三角函數值，求其他角的三角函數值時，要注意對角化簡，一般是把已知和所求同時化簡，化為同一個角的三角函數，然后求值.

例1（2011年全國理科卷）已知∈，，sin= ，則tan2=__________.

評析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考點2考查誘導公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函數值是化簡的主要工具. 使用誘導公式前，要正確分析角的結構特點，然后確定使用的誘導公式；

（2）將不能直接使用誘導公式的角通過適當的角的變換化為能使用誘導公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出現時，則要分k為奇數和偶數討論）；

（3）誘導公式的應用原則是：負化正，大化小，化到銳角為終了，特殊角能求值則求值；

（4）化簡是一種不能指定答案的恒等變形，化簡結果要盡可能使項數少、函數的種類少、次數低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等.

例2(2011年遼寧理科卷)設sin= ，則sin2=_________.

評析本題考查了二倍角公式等三角函數知識.

sin2=cos=2sin2 1=2

易錯提醒利用同角三角函數關系、誘導公式時，容易出現符號錯誤.

考點3考查兩角和、差公式

兩角和、差的三角函數公式是高考熱點之一，其題型既有小題(選擇題、填空題)，也有大題(靠前的解答題)，主要是容易題和中等題. 重點是考查基本公式的應用和恒等變換思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

評析因為+= ，所以cos =cos=coscos+sin ?sin= == .

技巧點撥解題的關鍵在于把“所求角”表示為“已知角”. ①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”只有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”；③常見的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考點4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函數

若函數f （x）的解析式通過三角恒等變換可轉化為f （x）=asinx+bcosx+k的形式，則函數f （x）的解析式可化為f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）設f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 對一切x∈R恒成立. 有以下結論：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函數也不是偶函數；④f （x）的單調遞增區間是（k∈Z）；⑤存在經過點（a,b）的直線與函數f （x）的圖像不相交. 以上結論正確的是 _____________(寫出正確結論的編號).

評析先將f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0變形為f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤對一切x∈R恒成立，得a，b之間的關系，然后順次判斷命題真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤對一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正確；

②==2bsin，故②錯誤；

③f （x）≠±f （x），故③正確；

④因為b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④錯誤；

⑤因為a=b>0，要使經過點（a,b）的直線與函數f （x）圖像不相交，則此直線與x軸平行，又f （x）的振幅為2b>b，所以該直線必與f （x）圖像有交點，故⑤錯誤.

答案：①③.

考點5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，運用公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值以及恒等式的證明，是高考的熱點.

注意以下幾組常見的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三組公式從左到右起到一個擴角降冪的作用，從右到左起到一個縮角升冪的作用.

例5(2011年江蘇卷)已知tan=2，則的值為__________.

評析因為tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因為tan==2，解得tanx= ，所以的值為.

考點6考查綜合應用

三角函數的化簡求值是常考題型. 它往往出現在小題中，或者是解答題中的一問，其中必然滲透著簡單的三角恒等變換和三角函數的性質，著重考查三角函數的基礎知識、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）設函數f（x）=tan2x+，設∈，若f =2cos2，求的大小.

評析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）?（cos+sin），又因為sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命題趨勢

1. 考查兩角和差的三角函數公式，經常以小題形式出現，難度不大；

2．考查二倍角公式的運用，題型可以是小題，也可以是大題，為中檔題；

3．考查三角恒等變換的化簡與求值問題，一般都在大題中進行考查；

4．解答題屬中、高檔題目.對三角恒等變換的考查形式有穩重求變、求活和“能力立意”的命題趨勢.

1．已知角的頂點與原點重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=_________.

2．若tan=3，則的值等于_________.

篇（7）

當今時代，知識更新速度加快，日新月異.特別是進入21世紀以后，思想活躍，關于數學方面的研究日益深入和豐富.三角函數研究的意義和必要性也日益突出，其中三角函數的教學扮演著重要角色.

三角函數教學的內容、教學目標及教學方法不斷發生著變化，而且在我們的日常生活中具有越來越重要的作用.下面讓我對高中三角函數教學的心得體會、反思以及三角函數在我們日常生活中的作用做一些詳盡的介紹.

一、三角函數教學的心得體會

1.要特別關注和留意教材與大綱內容的變化.認識這一變化，我們才能有目標地學習，了解教學的深度、難度和廣度，避免復習中做一些無用功.

2.關注教材編寫的新穎之處.

3.強化幾何思想，加強幾何直觀.

4.加強了數學建模的思想.把三角函數作為描述真實生活的數學模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型來解決問題.數學生活化，更容易調動學生的學習積極性.

5.高科技設備的引入和應用.把學生從煩瑣的計算中解脫出來，并利用信息技術探索數學規律.

二、三角函數的教學反思

關于三角函數的教學，應注意以下問題：

1.數學知識生活化.讓學生自主積極地將數學與生活聯系起來，使學生體會三角函數模型的意義.

2.弧度是學生比較難接受的概念，教學中應使學生體會弧度也是一種度量角的單位，可在后續課程的學習中逐步理解這一概念，在此不作深究.

三、對學生的要求

學生一定要注重三角函數中的基礎知識及應用知識.要對三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、化簡、求值和最值等重點內容熟練掌握并加以運用.將三角函數與代數、幾何、向量的關系加以聯系總結，相互融通.在三角函數的學習中比較重要的就是注重知識的總結.

1.熟悉三角變換常用的方法——化弦法、降冪法、角的變換法等，并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明.

2.深入探究正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的圖像性質及對平移變換、伸縮變換的意義.

四、學習三角函數的策略

1.了解差別：深入探究角、函數運算間的差別，即進行所謂的“差異分析”.

2.尋找相關性：通過公式間的相關性，找出差異之間的內在聯系.

3.恰當轉化：選擇合適公式，使得差異轉化.

五、三角函數知識的意義和影響

三角函數知識對于鍛煉學生思維，培養學生數學思想方面發揮著重要作用.

1.培養學生的函數與方程思想

篇（8）

常見題型：①三角函數的圖象與性質；②化簡和求值；③三角形中的三角函數；④最值．本文對高考重點、常考題型進一步總結，強化規律，解法定模，便于同學們考試中迅速提取，自如運用．

考點1．三角函數的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構．即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三觀察代數式的結構特點．

考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數間的關系式和誘導公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.

例2 設函數f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內角和定理：三角形內角和為π，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化．

考點3．求三角函數的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數式，以及利用三角函數的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數的性質, 誘導公式、同角三角函數的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（3）考查利用三角函數的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當m=0時，求f(x)在區間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當tanα=2時，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉化為二次函數去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉化為斜率去通過數形結合解決．

考點4．三角函數的圖象和性質：此類題目要求同學們在熟練掌握三角函數圖象的基礎上對三角函數的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.

例4 已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期及在區間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調遞增，在［π6，π2］上單調遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復雜三角函數的性質，一般是將這個復雜的三角函數化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數問題的基本思路.

篇（9）

在高中學生掌握的三角函數的主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數、同角三角函數間的關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函數的圖象和性質。在舊教材中三角函數安排在第一冊（下）第四章即在高一下學期進行學習。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根據黑龍江省的教學順序，在高一上學期的期中考完試之后進行學習。

現在我從幾個角度去分析三角函數這部分內容的新舊教材內容編寫及體系設置的差異：

（1）在形式上的對比：

舊教材是36節課時，新教材是24節課時。

從教材內容先后順序的調整，更符合學生的認知規律，體現課程標準中倡導的螺旋式的教學模式。新教材展示了研究數學所滲透的多種思想方法，如化歸思想，數形結合思想，換元思想，分類討論思想。同時在數學式子和圖形的變化中，讓學生領會分析、探索，類比，平移，伸縮變換等這些常用的基本方法，培養學生用數學的意識，從而使學生在獲取知識和運用知識的過程中發展思維能力，提高思維品質，培養創新精神。

（二）在內容上的對比：

1、新教材引入了計算器計算。

2、任意角三角函數一節弱化了正弦線，余弦線，正切線，強調了坐標運算。

3、新教材弱化同角關系式結構，減少了tanα·cotα=1 強調運用與推導。

4、誘導公式加入了正切公式，位置與順序做了調整。

5、新教材將兩角和差的正余弦公式放在“三角函數圖與性質”之后。

6、新教材將“函數y=sin(ωχ+φ) 的圖象”一節放于正切函數圖象之后。

7、新教材刪去了“已知三角函數值求角”的內容。

8、新教材增加了“三角函數模型的應用”的內容。

9、舊教材中只有“三角函數與歐拉”，“潮汐與港口”兩個閱讀材料。

新教材有三種專題：

閱讀與思考中包括：“三角學與天文學”和“振幅、周期、頻率、相位” 。

探究與發現中包括：“函數y=Asin(ωχ+φ) 及函數y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用單位圓中的三角函數線研究正弦函數、余弦函數的性質”

信息技術應用中包括：“利用正切線畫函數y=tanχ,x∈(-■,■) 圖象”和“利用信息技術制作三角函數表”。

10、例題習題中出現了許多高考習題，以及方法與思維較為靈活的綜合習題等。

內容的調整降低了難度，使教師在教學中既注重基礎知識又加強能力的培養，我們在教學中可以依據教材的特點，教材幾乎每一部分的右側都有“？”，讓學生可以在課上或課下進行積極的研究與討論，教師在備課過程中可以設計問題教學法，引導學生帶著問題進行學生。教學中注重分層教學，輔助以多媒體教學手段，編寫了分層作業，其中有基礎作業，能力作業等。

（三）在教學要求上： 舊教材的具體要求是：

1、使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算。

2、使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式。

3、使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通過公式的推導，了解它們的內在聯系，從而培養邏輯推理能力。

4、使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。

5、使學生會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象；理解周期函數與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數、余弦函數、正切函數的性質；會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義。

6、使學生會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具體要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與度的互化。

2、借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式的正弦、余弦、正切，能畫出的y=sinx,y=cosx,y=tanx圖象，了解三角函數的周期性。

3、借助圖象理解正弦函數，余弦函數在[0,2π] ，正切函數在(-■,■)上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）。

4、理解同角三角函數的基本關系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、結合具體實例，了解y=Asin(ωχ+φ)的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin(ωχ+φ)的圖象，觀察參數A,ω,φ對函數圖象變化的影響。

6、會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。

7、經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。

8、能以兩角差的余弦公式導出兩角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。

9、能運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的作用。

（四）教學體會及建議

1、重視誘導公式的歸納和作用：因為在其它章節中只要是與角有關系的問題,例如：解三角形中；直線的傾斜角和斜率；立體幾何中的成角問題等都會涉及到誘導公式的使用。它的作用是將任意角的三角函數化為銳角三角函數，從中領會化歸的數學思想及蘊含的創新意識。

2、三角函數線作為三角函數的幾何表示，可適當補充一些三角函數線的應用，如比較三角函數值的大小；已知求x, 讓學生增強“數形結合”的意識，培養學生運用數形結合的思想方法。也為今后學習有關內容打下基礎。

篇（10）

1.變“角”

例1.設α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.

【分析】條件角是α-，β+，目標角是α+β，運用轉化與化歸思想得到α+β=（α-）+（β+）-.

【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.

由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.

所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.

【評析】本題可以直接利用和角、差角公式展開cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.這也是一種思路，但是計算量太大.本題的解法通過配角化異求同，溝通已知角與未知角的關系，大大提高了解題效率.但是解題中要注意角的范圍，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽視角的范圍限制，容易產生運算錯誤.

常用的角度變換有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.

2.變“名”

例2.已知函數f（x）=tan（2x+），

（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；

（II）設α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.

【分析】解決三角函數問題要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，這里有復角α+，倍角2α，單角α，首先得消除角的差異，即α+，2αα；其次函數化切化弦.

【解答】（I）易解得定義域為{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.

（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.

因為α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.

由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.

【評析】弦切互化是化函數異名為同名的最常用方法.忽視角的范圍限制是產生錯誤的重要原因.

3.變“式”

例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.

【分析】非特殊角特殊角，利用公式變形整體求解.

【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.

【評析】在進行三角變換時，順用公式的情況比較普遍，但如果能根據題目的結構，聯想到公式的變形、逆用，那么就會“柳暗花明又一村”.本題的巧妙之處在于將兩角和的正切公式變形為tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.

4.變“次”

例4.函數f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是

？搖？搖？搖 ？搖.

【分析】已知條件中存在次數的差異，應先運用降次、升冪公式消除次數差異.

【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.

【評析】通過降次、升冪等手段，為使用公式創造條件，也是三角變換的一種重要策略.常見的降次公式有sinx=，cosx=；升冪公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.

5.“1”的妙用

例5.已知a，β均為銳角，且tanβ=，則tan（α+β）=

？搖？搖？搖 ？搖.

【分析】已知條件是sinα，cosα的齊一次式，聯想到化弦為切，轉化為tanα，tanβ的關系.

【解答】tanβ===tan（-α）.又因為α，β均為銳角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.

【評析】在三角變換中，“1”的妙用使問題迎刃而解.常見的有1=sinα+cosα，1=tan.

6.整體處理

例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，則cos2θ的值是

？搖？搖 ？搖？搖.

【分析】看到sinθ+cosθ=比較容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，這是一種思路.當然還可以從化同角的角度把單角變倍角，則只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角轉化為單角，則cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，這個問題就解決了.

【解答】法一：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因為θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.

法二：sinθ+cosθ=兩邊平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，

又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，

篇（11）

在講解同角三角函數的時候，就遇到了同角三角函數之間的函數關系了，即正弦函數sinA，余弦函數cosA，正切函數tanA，余切函數cotA，正割函數secA，余割函數cscA之間的關系.它們之間的關系怎么能比較清楚簡潔地記憶呢？我們不妨借助一個正六邊形來加以輔助記憶.在正六邊形的左上角記上正弦函數sinA，右上角記余弦函數cosA，中間左邊記正切函數tanA，中間右邊的角記余切函數cotA，左下角記正割函數secA，右下角記余割函數cscA.這樣六個角就對應了六個三角函數.然后在六邊形的中心點畫一個圈，分別與六個角連線，圈的里面寫個數字“1”.這樣一個大的六邊形就被分成了六個小的等邊三角形了.其中有三個是“正”三角形（就是一個尖在上面的）.三個是“倒”三角形（就是一個尖在下面的）.把三個倒三角形涂上陰影，用以表示面積所用.因為面積我們都習慣用平方來表示.所以公式中出現平方的時候就要用到用以表示面積的部分來表達了.這樣的準備工作做好了之后，就可以借助這個六邊形對同角三角函數之間的關系來記憶了.首先是對角之積為“1”.即正弦函數與余割函數之積為1，sinA·cscA=1；余弦函數與正割函數之積為1，cosA·secA=1；正切函數與余切函數之積為1，tanA·cotA=1.其次是商的關系.以中間的正切函數和余切函數為中心，正切函數上下分別往右，左邊的函數除以右邊的函數就等于正切函數，tanA=sinA[]cosA=secA[]cscA.以余切函數為中心，余切函數上下分別往左，右邊的函數除以左邊的函數就等于余切函數，cotA=cosA[]sinA=cscA[]secA.再者就是平方和關系.三個倒三角上面的兩個頂角的平方和等于底角的平方.即正弦函數的平方加上余弦函數的平方等于1的平方，sin2A+cos2A=1；正切函數的平方加上1的平方等于正割函數的平方，tan2A+1=sec2A；1的平方加上余切函數的平方等于余割函數的平方，1+cot2A=csc2A.由此，我們只要在腦海里印記了一個正六邊形，同角三角函數之間的所有關系也就相應地映記在腦海里了.

二、口訣解釋法

在講解三角函數誘導公式的時候，九組三十六個誘導公式單獨的記憶就有一定的難度.那么我們歸納分析后可以看出，凡是誘導公式中括號里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之類的角）所落在坐標軸的位置不同，等號后面的三角函數與等號前面的三角函數的名稱有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何規律呢？而等號后面的正負符號也不盡相同.這又有何規律呢？通過觀察、歸納，我們可以簡單的用兩句話、十個字來佐以記憶.這就是“縱變橫不變，正負看象限”.那么，這十個字、兩句話怎么理解就顯得尤為重要了.首先，什么叫縱，什么叫橫？就是定角所落在坐標軸的位置，如果定角落在坐標軸的橫軸上，就叫做橫，如π或者2π的終邊就落在了橫軸上了，所以就叫做橫了.同理可知縱.那什么叫變和不變呢？就是等號左右的三角函數名稱變和不變.“縱變橫不變”就是指的是如果定角的終邊落在了坐標軸的橫軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就不變，如果定角的終邊落在了坐標軸的縱軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就改變.那變和不變，怎么變，怎么不變呢？變就是等號左邊的要是正弦函數，那等號右邊就是余弦函數，等號左邊是正切函數，那等號右邊就是余切函數了.這就是縱變橫不變的解釋理解.所以我們先要觀察定角終邊落在坐標軸的什么軸上，然后根據口訣就知道等號左右的三角函數名稱是否改變了.其次是“正負看象限”.正負指的是等號右邊三角函數前面的正負符號.看象限是看誰的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.這里A雖然是任意角，但我們仍然要把這個任意角A看成是一個銳角.這里特別要強調的是“看成”.任意角就是任意角，無論是什么角，我們況且都可以把它先看成是銳角.這樣，一個定角和一個銳角所在的象限就確定了.那么這個角和等號左邊的三角函數所在的象限的三角函數符號就能確定了.所以等號右邊的正負符號就由此來確定了.那么這樣，等號左邊的三角函數和括號里的定角與任意角的和或者差的誘導公式就可以由前面的“縱變橫不變，正負看象限”得到等號右邊的一個任意角的三角函數值了.這樣，我們只要能記住理解這兩句話.十個字就可以把三十六個誘導公式熟練的記住了.比如我們要求：cot（π-A）=？首先我們來確定定角π的終邊所落的坐標軸是在橫軸上了，由“縱變橫不變，正負看象限”，那么我們就可以判定等號右邊的三角函數的名稱沒變，即左邊是余切函數cot（π-A），那右邊也一定是余切函數cotA.再者我們來判斷等號右邊的正負符號，我們看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限內余切函數是負值，所以等號右邊就應該是負號了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位記憶法

定位法就是先將我們要熟記的公式模式定位.比如，我們要熟記和差化積的公式.如：