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2.練習講解二項式定理有關題型

教學重難點：解二項式定理有關習題

知識點梳理：

1．二項式定理

(a＋b)n＝C0nan＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數．式中的Can－rbr叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即展開式的第r+1項；Tr＋1＝Can－rbr.

2．二項展開式形式上的特點

(1)項數為

n+1

.

(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.

(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.

(4)二項式的系數從

C

，C，一直到C，

C

.

3．二項式系數的性質

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C＝C.

(2)增減性與最大值：二項式系數C，當r＜

時，二項式系數是遞增的；當r＞

時，二項式系數是遞減的．

當n是偶數時，中間的一項Cn取得最大值．

當n是奇數時，中間兩項Cn

和

Cn

相等，且同時取得最大值．

(3)各二項式系數的和

(a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.

注：二項式的項數與項

(1)二項式的展開式共有n＋1項，Can－rbr是第r＋1項．即r＋1是項數，Can－rbr是項．

(2)通項是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素．

一個區別

在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是該項的二項式系數，它與a，b的值無關；Tr＋1項的系數指化簡后除字母以外的數，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝C2n－r3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1項的系數．

例題講練

考點一　二項展開式中的特定項或特定項的系數

【例1】已知在n的展開式中，第6項為常數項．

(1)求n；

(2)求含x2的項的系數；

(3)求展開式中所有的有理項．

【訓練1】若6展開式的常數項為60，則常數a的值為________．

考點二　二項式定理中的賦值

【例2】二項式(2x－3y)9的展開式中，求：

(1)

二項式系數之和；

(2)各項系數之和；

(3)所有奇數項系數之和．

【訓練2】

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

考點三　二項式的和與積

【例3】(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項的系數為________．

【訓練3】

x7的展開式中，x4的系數是________(用數字作答)．

考點四　二項式定理的應用

【例4】(1)已知n∈N*，求1＋2＋22＋23＋…＋24n－1除以17的余數；

(2)求(1.999)5精確到0.001的近似值．

【訓練4】

求證：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；

(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．

課堂檢測

1．

(1＋2x)5的展開式中，x2的系數等于________．

2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數)，則a＋b＝________.

3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________．

4．

(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n＝________.

5．設(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________.

課后練習

1．

(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數項是________．

2．若二項式n的展開式中第5項是常數項，則正整數n的值可能為________．

3．在6的二項展開式中，x2的系數為________．

4．已知8展開式中常數項為1

120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是________．

5．設n的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數為________．

6．

(1＋x＋x2)6的展開式中的常數項為________．

7．

18的展開式中含x15的項的系數為________(結果用數值表示)．

8．

6的展開式中的第四項是________．

9．在二項式5的展開式中，含x4的項的系數為________．

10．

5的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為________．

11．已知(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數項，n∈N*且2≤n≤8，則n＝________.

12．設二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數為A，常數項為B.若B＝4A，則a的值是________．

13．已知二項式n的展開式中各項的系數和為256.